Question

如圖，A、B為⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。

（1）已知∠APB是上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。

① 若AB為⊙O的直徑，則∠APB=      

② 若⊙O半徑為1，AB=，求∠APB的度數(shù)

（2）已知為外一點(diǎn)，以為圓心作一個(gè)圓與相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB為上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①90⁰。

 

 

②如圖，連接AB、OA、OB．

 

 

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA²+OB²=AB²。

∴∠AOB=90°。

當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB 上時(shí)（如圖1），∠APB=∠AOB=45°；

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧 AB 上時(shí)（如圖2），

∠APB=（360°－∠AOB）=135°。

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O₁上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點(diǎn)P在⊙O₂外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，

 

 

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

第二種情況：點(diǎn)P在⊙O₂外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，

 

 

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。

第三種情況：點(diǎn)P在⊙O₂外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，

 

 

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。

第四種情況：點(diǎn)P在⊙O₂內(nèi)，如圖6，

 

 

∠APB=∠MAN+∠ANB。

【解析】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。

（1）①根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可得∠APB=90⁰。

②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論即可。

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O₁上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系。