Question

如圖，△ABC中D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
求證：（1）ED=DA；
（2）∠EBA=∠EAB
（3）BE²=AD•AC．

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可證得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度數(shù)，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度數(shù)，即可證得∠EAB=∠EBA；
（3）根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，易證△AED∽△ACE，又由相似三角形的對應邊成比例，即可證得BE²=AD•AC．

解答：證明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴

AE

AC

=

AD

AE

，（1分）
∴AE²=AD•AC，
即BE²=AD•AC．（1分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用與有兩角對應相等的三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半定理的應用．