Question

21、（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，D是AB上一點，以CD為一邊向上作等邊△ECD，連接AE，求證：∠CAE=∠CBA．
（2）在上題（1）中，當D點在AB的延長線上時，其他條件不變，如圖②所示，請你補畫出題意的圖形，（1）的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC與△EDC是等邊三角形，利用其三邊相等和三角相等的關系，先證∠BCD=∠ACE，然后即可證明結論
（2）同（1）根據△ABC與△EDC是等邊三角形，利用其三邊相等和三角相等的關系，證明△ACE≌△BCD說明．

解答：解：（1）證明：∵△ABC與△EDC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBA．

（2）不成立；
因為同（1）易證△ACE≌△BCD，
所以∠CAE=∠CBD，
∠CBD與∠CBA互補，
所以∠CAE和∠CBA互補但不相等．

點評：此題考查的知識點是等百年三角形的性質，等邊三角形各邊長相等、各內角為60°的性質，本題中求證△AE≌△BCD是解題的關鍵．