Question

如圖，直線y=

4

3

x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和C，和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求四邊形ABCM的面積S．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

4

3

x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，分別令x=0與y=0，即可求得點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，又由二次函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和C，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）由（1）中的二次函數(shù)的關(guān)系式，利用配方法即可求得其頂點(diǎn)式，則可求得該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）首先令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得方程

4

3

x²-

8

3

x-4=0，解此方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后過(guò)M作x軸的垂線，垂足為D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM，即可求得四邊形ABCM的面積S的值．

解答：解：（1）∵直線y=

4

3

x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），C（0，-4），
∵二次函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和C，
∴

c=-4 4 3 ×9+3b+c=0

，
解得：

b=- 8 3 c=-4

，
∴該二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（x²-2x）-4=

4

3

（x-1）²-

16

3

，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-

16

3

）．

（3）令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得

4

3

x²-

8

3

x-4=0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（-1，0），
過(guò)M作x軸的垂線，垂足為D，
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM=

1

2

×1×4+

1

2

×（4+

16

3

）×1+

1

2

×（3-1）×

16

3

=12．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，注意在求四邊形的面積時(shí)輔助線的作法與分割思想的應(yīng)用．