Question

【題目】已知如圖，矩形OABC的長OA=， 寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC.

（1）求∠PCB的度數；

（2）若P，A兩點在拋物線y=x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；

（3）題（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標.

Answer 1

【答案】（1）30°； （2）當x=0時，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上；（3）見解析

【解析】（1）根據OC、OA的長，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折疊的性質），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判斷出∠PCB的度數．
（2）過P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的長，進而可得到點P的坐標，將P、A坐標代入拋物線的解析式中，即可得到b、c的值，從而確定拋物線的解析式，然后將C點坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）根據拋物線的解析式易求得C、D、E點的坐標，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對角線，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過D作直線CE的平行線，那么此直線與x軸的交點即為M點，而N點即為C點，D、E的坐標已經求得，結合平行四邊形的性質即可得到點M的坐標，而C點坐標已知，即可得到N點的坐標；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過A作DE的平行線，與y軸的交點即為N點，而M點即為A點；易求得∠DEA的度數，即可得到∠NAO的度數，已知OA的長，通過解直角三角形可求得ON的值，從而確定N點的坐標，而M點與A點重合，其坐標已知；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過C作DE的平行線，也可找到符合條件的M、N點，解法同上．

解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根據折疊的性質知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）過P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；

∴OQ=AQ=，PQ=，

所以P（， ）；

將P、A代入拋物線的表達式中，得： ，

解得；

即y=x2+x+1；

當x=0時，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．

（3）①若DE是平行四邊形的對角線，點C在y軸上，CD平行x軸，

∴過點D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，

把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標為（，1）

把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標為（，0）

∴M（，0）；N點即為C點，坐標是N（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，

過點A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，

∴DE=AN===2，

∴∠EAN=30°，∠DEA=30°，

∴M（，0），N（0，-1）

同理過點C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，

∴M（-，0），N（0，1）．

“點睛”此題考查了矩形的性質、圖形的翻折變換、二次函數解析式的確定、平行四邊形的判定和性質等知識，同時考查了分類討論的數學思想，難度較大．