【題目】如圖,拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上找出點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將直線AC沿x軸的正方向平移,平移后的直線交y軸于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.當(dāng)四邊形ACMN為等腰梯形時(shí),求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3)存在M(0,)、N(,-)使四邊形ACMN為等腰梯形.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn).用待定系數(shù)法直接求出即可;
(2)過(guò)P作,垂足為H,PO=OC,,則CH=OH 令,解方程即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),即可求解.
(3)連接NA并延長(zhǎng)交OC于G,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到GA=GC,設(shè)GA=x,則GC=x,OG=3-x在Rt△OGA中,根據(jù)勾股定理OA 2+OG 2=AG 2,列出方程,解得x=
∴OG=3-x=,求出 直線AG的解析式,聯(lián)立方程,即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo).進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(1)∵拋物線 過(guò)點(diǎn)A(1,0)、C(0,3)
∴
解得
∴拋物線的解析式為
(2)過(guò)P作,垂足為H
∵PO=OC,
∴CH=OH
∴ …
∴
.
(3)連接NA并延長(zhǎng)交OC于G
∵四邊形ACMN為等腰梯形,且AC∥MN
∴∠ANM=∠CMN,∠ANM=∠GAC,∠GCA=∠CMN
∴∠GAC=∠GCA,∴GA=GC
設(shè)GA=x,則GC=x,OG=3-x
在Rt△OGA中,OA 2+OG 2=AG 2
∴1 2+( 3-x )2=x 2,解得x=
∴OG=3-x= ,∴G(0,)
易得直線AG的解析式為y=- x+
令- x+ =x 2-4x+3,解得x1=1(舍去),x2=
∴N
∴CM=AN=
∴OM=OC+CM=3+ =
∴M(0,)
∴存在M(0,)、N使四邊形ACMN為等腰梯形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小星同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程:
已知:如圖,直線 l 和直線 l 外一點(diǎn) A
求作:直線 AP,使得 AP∥l
作法:如圖
① 在直線 l 上任取一點(diǎn) B,以點(diǎn) A 為圓心,AB 為半徑作圓,與直線 l 交于 B,C 兩點(diǎn).
② 連接 AC,AB,延長(zhǎng) BA 交⊙A 于點(diǎn) D;
③ 作∠DAC 的平分線 AP,并反向延長(zhǎng).
所以直線 AP 就是所求作的直線
根據(jù)小星同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明
證明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB( ① )(填推理的依據(jù))
∵∠DAC 是△ABC 的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP 平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴ ②
∴AP∥l( ③ )(填推理的依據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(﹣4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:①2a﹣b=0;②abc<0;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;⑤當(dāng)﹣4<x<﹣1時(shí),則y2<y1.
其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AC=3CD,過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求BDcos∠HBD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別是線段BM,CM的中點(diǎn).
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)四邊形MENF是正方形時(shí),求AD:AB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c(c≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,m)(m<0),與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于C、D兩點(diǎn)(C在D的左側(cè)),AB//x軸,且AB:OB=2:3.
(1)求m的值;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使ΔPOC為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次函數(shù)y=kx-6中,已知y隨x的增大而減小.下列關(guān)于反比例函數(shù)y=
的描述,其中正確的是( )
A. 當(dāng)x>0時(shí),y>0 B. y隨x的增大而增大
C. y隨x的增大而減小 D. 圖像在第二、四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,游客在點(diǎn)A處坐纜車(chē)出發(fā),沿A﹣B﹣D的路線可至山頂D處.已知AB=BD=800米,∠α=75°,∠β=45°,求山高DE(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732,=1.414)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若∠CAD=∠DBC.
(1)求證:ABCD是正方形.
(2)E是OB上一點(diǎn),DH⊥CE,垂足為H,DH與OC相交于點(diǎn)F,求證:OE=OF.
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