Question

【題目】已知：如圖1，直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)D是直線AC上方拋物線上任意一點(diǎn)，P為線段AC上一點(diǎn)，且S△PCD=2S△PAD ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，另有一條直線y=﹣x與直線AC交于點(diǎn)M，N為線段OA上一點(diǎn)，∠AMN=∠AOM．點(diǎn)Q為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q到直線MN和直線MO的距離相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y= x+6中，

令x=0，則y=6；令y=0，則x=﹣8，

∴A（﹣8，0），C（0，6），

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，

∴B（2，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+8）（x﹣2），則

把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），

即

（2）解：如圖所示，過(guò)P作PH⊥AO于H，

∵S△PCD=2S△PAD，

∴AP：PC=1：2，

∵PH∥CO，

∴AH：HO=1：2，

即OH= AO，

又∵AO=8，

∴OH=8× = ，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ，

在直線y= x+6中，當(dāng)x= 時(shí)，y= ×（ ）+6=2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，2）

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q1到直線MN和直線MO的距離相等，

∵直線y=﹣x與直線y= x+6交于點(diǎn)M，

∴M（﹣ ， ），

又∵A（﹣8，0），

∴由兩點(diǎn)間距離公式可得AM= = ，

∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，

∴△AMN∽△AOM，

∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，

∴AN= ，

∴ON=AO﹣AN= ，

即N（﹣ ，0），

∴由兩點(diǎn)間距離公式可得MN= ，MO= ，

∵M(jìn)Q1平分∠NMO，

∴ = = ，

∴OQ1= NO= = ，

即點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（ ，0）；

②當(dāng)點(diǎn)Q2為∠NMO的鄰補(bǔ)角的平分線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q2到直線MN和直線MO的距離相等，

根據(jù)Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得

直線MQ1解析式為y=﹣3x﹣ ，

∵M(jìn)Q1⊥MQ2，

∴可設(shè)直線MQ2解析式為y= x+b，

把M（﹣ ， ）代入，可得b= ，

∴直線MQ2解析式為y= x+ ，

∴當(dāng)y=0時(shí)，0= x+ ，

解得x=﹣ ，

即點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（ ，0）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）根據(jù)直線y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）過(guò)P作PH⊥AO于H，根據(jù)S△PCD=2S△PAD ， 可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，進(jìn)而得到OH= AO=8× = ，在直線y= x+6中，當(dāng)x= 時(shí)，y= ×（ ）+6=2，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，2）；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q1到直線MN和直線MO的距離相等；②當(dāng)點(diǎn)Q2為∠NMO的鄰補(bǔ)角的平分線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q2到直線MN和直線MO的距離相等，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得N（﹣ ，0），再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（ ，0）；最后根據(jù)MQ1⊥MQ2 ， 可得直線MQ2解析式為y= x+ ，進(jìn)而得到點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（ ，0）．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．