【題目】ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F,連接AC.

(1)如圖1,若∠ADC=90°,G是EF的中點,連接AG、CG.

①求證:BE=BF;

②請判斷△AGC的形狀,并說明理由.

(2)如圖2,若∠ADC=60°,將線段FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°至FG,連接AG、CG,判斷△AGC的形狀.(直接寫出結(jié)論不必證明)

【答案】(1)①證明見解析;②△AGC是等腰直角三角形.證明見解析;(2)△AGC是等邊三角形.

【解析】試題分析:(1①先判定四邊形ABCD是矩形,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90°ABDC,ADBC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=FDC,BEF=ADF,再根據(jù)DF是∠ADC的平分線,利用角平分線的定義得到∠ADF=FDC,從而得到∠F=BEF,然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明;
②連接BG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F=BEF=45°,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG=FGF=CBG=45°,然后利用邊角邊證明AFGCBG全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=CG,再求出∠GAC+ACG=90°,然后求出∠AGC=90°,然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可;
2)連接BG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BFG是等邊三角形,再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD,平行四邊形的對角相等求出∠ABC=ADC=60°,然后求出∠CBG=60°,從而得到∠AFG=CBG,然后利用邊角邊證明AFGCBG全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=CG,全等三角形對應角相等可得∠FAG=BCG,然后求出∠GAC+ACG=120°,再求出∠AGC=60°,然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可.

試題解析:1)證明:①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=90°,

∴四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°ABDC,ADBC,
∴∠F=FDCBEF=ADF,
DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=FDC,∴∠F=BEF,
BF=BE;
②△AGC是等腰直角三角形.
理由如下:連接BG,


由①知,BF=BEFBC=90°,∴∠F=BEF=45°,
GEF的中點,∴BG=FG,F=CBG=45°,
∵∠FAD=90°,AF=AD,又∵AD=BC,AF=BC,
AFGCBG中, ∴△AFG≌△CBG
AG=CG,FAG=BCG,
又∵∠FAG+GAC+ACB=90°,∴∠BCG+GAC+ACB=90°

即∠GAC+ACG=90°,∴∠AGC=90°,∴△AGC是等腰直角三角形;

(2)AGC是等邊三角形.

證明:連接BG,FB繞點F順時針旋轉(zhuǎn)60°FG,


∴△BFG是等邊三角形,
FG=BG,FBG=60°
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=60°
∴∠ABC=ADC=60°
∴∠CBG=180°-FBG-ABC=180°-60°-60°=60°,
∴∠AFG=CBG,
DF是∠ADC的平分線,
∴∠ADF=FDC
ABDC,
∴∠AFD=FDC,
∴∠AFD=ADF,
AF=AD,
AFGCBG中,

,

∴△AFG≌△CBGSAS),
AG=CG,FAG=BCG
ABC中,∠GAC+ACG=ACB+BCG+GAC=ACB+BAG+GAC=ACB+BAC=180°-60°=120°,
∴∠AGC=180°-GAC+ACG=180°-120°=60°,
∴△AGC是等邊三角形.

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時間分段/min

頻(人)數(shù)

百分比

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8

20%

15≤x<20

14

a

20≤x<25

10

25%

25≤x<30

b

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30≤x<35

3

7.50%

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c

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