【題目】如圖,ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,將ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處,折痕交CD邊于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形BCED′是菱形;
(2)若點(diǎn)P時(shí)直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算PD′+PB的最小值.
【答案】
(1)
證明:∵將ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四邊形DAD′E是平行四邊形,
∴DE=AD′,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴CE=D′B,CE∥D′B,
∴四邊形BCED′是平行四邊形;
∵AD=AD′,
∴DAD′E是菱形
(2)
證明:∵四邊形DAD′E是菱形,
∴D與D′關(guān)于AE對(duì)稱,
連接BD交AE于P,則BD的長(zhǎng)即為PD′+PB的最小值,
過D作DG⊥BA于G,
∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°,
∵AD=1,
∴AG= ,DG= ,
∴BG= ,
∴BD= = ,
∴PD′+PB的最小值為 .
【解析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形,進(jìn)而求出四邊形BCED′是平行四邊形,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)由四邊形DAD′E是平行四邊形,得到DAD′E是菱形,推出D與D′關(guān)于AE對(duì)稱,連接BD交AE于P,則BD的長(zhǎng)即為PD′+PB的最小值,過D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG= ,DG= ,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.本題考查了平行四邊形的性質(zhì),最短距離問題,勾股定理,菱形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分),還要掌握菱形的判定方法(任意一個(gè)四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對(duì)角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對(duì)角線若垂直,順理成章為菱形)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某中學(xué)為合理安排體育活動(dòng),在全校喜歡乒乓球、排球、羽毛球、足球、籃球五種球類運(yùn)動(dòng)的1000名學(xué)生中,隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,了解學(xué)生最喜歡的一種球類運(yùn)動(dòng),每人只能在這五種球類運(yùn)動(dòng)中選擇一種.調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
球類名稱 | 乒乓球 | 排球 | 羽毛球 | 足球 | 籃球 |
人數(shù) | a | 12 | 36 | 18 | b |
解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中的樣本容量是;
(2)a= , b=;
(3)試估計(jì)上述1000名學(xué)生中最喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對(duì)稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),下列說法中不正確的是( 。
A.DE= BC
B.
C.△ADE∽△ABC
D.S△ADE:S△ABC=1:2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到三邊的距離之和為( 。
A.
B.
C.
D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)H,連接BD、FH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),
①BC與CF的位置關(guān)系為: .
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了讓書籍開拓學(xué)生的視野,陶冶學(xué)生的情操,向陽中學(xué)開展了“五個(gè)一”課外閱讀活動(dòng),為了解全校學(xué)生課外閱讀情況,抽樣調(diào)查了50名學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間(單位:min),將抽查得到的數(shù)據(jù)分成5組,下面是尚未完成的頻數(shù)、頻率分布表:
組別 | 分組 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
1 | 10≤t<30 | ① | 0.16 |
2 | 30≤t<50 | 20 | ② |
3 | 50≤t<70 | ③ | 0.28 |
4 | 70≤t<90 | 6 | ④ |
5 | 90≤t<110 | ⑤ | ⑥ |
(1)將表中空格處的數(shù)據(jù)補(bǔ)全,完成上面的頻數(shù)、頻率分布表;
(2)請(qǐng)?jiān)诮o出的平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的頻數(shù)直方圖;
(3)如果該校有1500名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校共有多少名學(xué)生平均每天閱讀時(shí)間不少于50min?
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