Question

【題目】如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上．

（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），

∴AB=6+4=10，AC= =10，

∴AB=AC，

由翻折可得，AB=BD，AC=CD，

∴AB=BD=CD=AC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，

∵C（0，8），

∴點D的坐標是（10，8）

（2）解：∵y=ax2﹣10ax+c，

∴對稱軸為直線x=﹣ =5．

設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得 ．

∴y=﹣2x+8．

∵點M在直線y=﹣2x+8上，

∴n=﹣2×5+8=﹣2．

又∵拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點C和M，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的函數(shù)表達式為y= x2﹣4x+8

（3）解：存在．

理由如下：由題意可知，P在拋物線y= x2﹣4x+8上，且到BD，CD所在直線距離相等，所以P在二次函數(shù)與BD、CD所在的直線的夾角平分線的交點上，而BD、CD所在的直線的夾角平分線有兩條：一條是AD所在的直線，解析式為y= x+3，另外一條是過D且與BC平行的直線，解析式為y=﹣2x+28，

聯(lián)立 ，

解得： （舍）或 ，

聯(lián)立 ，

解得： （舍）或

所以當△PBD與△PCD的面積相等，點P的坐標為P1（ ， ），P2（﹣5，38）

【解析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定得出D點的坐標；（2)根據(jù)對稱軸公式得出拋物線的對稱軸，設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可得出M點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3)分點P在CD的上面和點P在CD的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可求出P點的坐標。
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握翻折變換（折疊問題）(折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等)的相關知識才是答題的關鍵．