【題目】如圖,已知正方形ABCD,E是AB延長線上一點(diǎn),F(xiàn)是DC延長線上一點(diǎn),連接BF,EF,恰有BF=EF,將線段EF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得FG,過點(diǎn)B作EF的垂線,交EF于點(diǎn)M,交DA的延長線于點(diǎn)N,連接NG.

(1)求證:BE=2CF;
(2)試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形,并對你的猜想加以證明.

【答案】
(1)證明:過F作FH⊥BE,

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠ABC=∠BCD=90°,

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°,

∴四邊形BCFH為矩形,

∴BH=CF,

又∵BF=EF,

∴BE=2BH,

∴BE=2CF;


(2)解:四邊形BFGN為菱形,證明如下:

∵M(jìn)N⊥EF,

∴∠E+∠EBM=90°,且∠EBM=∠ABN,

∴∠ABN+∠E=90°,

∵BF=EF,

∴∠E=∠EBF,

∴∠ABN+∠EBF=90°,

又∵∠EBC=90°,

∴∠CBF+∠EBF=90°,

∴∠ABN=∠CBF,

∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB=BC,∠NAB=∠CBF=90°,

在△ABN和△CBF中

∴△ABN≌△CBF(ASA),

∴BF=BN,

又由旋轉(zhuǎn)可得EF=FG=BF,

∴BN=FG,

∵∠GFM=∠BME=90°,

∴BN∥FG,

∴四邊形BFGN為菱形.


【解析】(1)過F作FH⊥BE,垂足為H,首先證明四邊形BCFH為矩形,依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到BH=CF,然后由H為BE中點(diǎn),可得BE=2CF;
(2)首先證明△ANB≌△CFB,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BN=BF,然后再證明BN=GF,且BN∥FG,可最后,依據(jù)菱形的判定定理進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用菱形的判定方法和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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【題目】△ABC,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在AC,AB,下列條件中,不能使BD=CE的是( )

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B. BD,CE都為△ABC的角平分線

C. ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB

D. ∠ABD=∠BCE

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A. 110° B. 105° C. 90° D. 85°

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22+42+62++502的值.

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1)請你幫小亮求出圖1中長方形的長和寬;

2)請你參照圖3,用圖1的長方形拼出一個面積為的正方形(中間留有一個正方形小洞),請畫出你拼出的大正方形(要求畫出兩個).

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(1)求m,n的值;
(2)若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱,求△ABD的面積;
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在異于D點(diǎn)的點(diǎn)P,使得SPAB=SDAB?若存在,直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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2)小明經(jīng)過改變∠A,∠B的度數(shù)進(jìn)行多次探究,得出A、B、BEC三個角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系,請用一個等式表示出這個關(guān)系,并進(jìn)行證明。

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