Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中點(diǎn)，AD⊥BM于E，交BC于D點(diǎn)．
（1）求證：BD=2CD；
（2）若AM=

1

n

AC，其他條件不變，猜想BD與CD的倍數(shù)關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：作CG⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于G，易證△ABE≌△CAG得到AM=CG，△EBD∽△GCD，因而求

BD

CD

的值的問題可以轉(zhuǎn)化為求

BE

CG

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求解．

解答：解：①作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G，證△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易證△ABM∽△EBA，則EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．

②作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G，易證△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，設(shè)等腰直角三角形ABC的邊AB=AC=2a，則AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得到BM=

5

a，AE=CG=

AB•AM

BM

=

2 5

5

a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴

EM

CG

=

AM

AC

=

1

n

，則EM=

1

n

•CG=

1

n

•

2 5

5

a，
∴BE=BM-EM=

5

a-

1

n

•

2 5

5

a=

5n-2

5n

5

a，
∴

BD

DC

=

BE

GC

=

5n-2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)線段的比的問題．