Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，連接DE．

(1)如圖1，當△ABC為銳角三角形時，

①依題意補全圖形，猜想∠BAE與∠BCD之間的數量關系并證明；

②用等式表示線段AE，CE，DE的數量關系，并證明;

(2)如圖2，當∠ABC為鈍角時，依題意補全圖形并直接寫出線段AE，CE，DE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①補全圖形，如圖1所示.見解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由見解析；②見解析；（2）補全圖形，如圖3所示. 見解析；線段AE，CE，DE的數量關系：CE-DE=AE.

【解析】

(1)①依題意補全圖形，由直角三角形的性質得出∠BAE﹢∠B=90°,

∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；

②在AE上截取AF=CE，可證出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可證明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.證出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出結論;

(2) 在CE上截取CF=AE，連接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF

由∠BAC=45°可得AD=CD，可證△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得線段AE，CE，DE的數量關系.

（1）①依題意，補全圖形，如圖1所示.

猜想：∠BAE=∠BCD.

理由如下：

∵CD⊥AB,AE⊥BC，

∴∠BAE﹢∠B=90°,

∠BCD﹢∠B=90°.

∴∠BAE=∠BCD.

②證明：如圖2，在AE上截取AF=CE.

連接DF.

∵∠BAC=45°,CD⊥AB,

∴△ACD是等腰直角三角形.

∴AD=CD.

又∠BAE=∠BCD,

∴△ADF≌△CDE（SAS）.

∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.

∵AB⊥CD,

∴∠ADF﹢∠FDC=90°.

∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.

∴△EDF是等腰直角三角形.

∴EF=.

∵AF+EF=AE,

∴CE+DE=AE.

（2）依題意補全圖形，如圖3所示.

在CE上截取CF=AE，連接DF

∵CD⊥AD，AE⊥BC

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD

∴∠EAD=∠DCF

∵∠BAC=45°

∴∠DCA=45°

∴AD=CD

又∵CF=AE

∴△ADE≌△CDF

∴ED=DF

∠ADE=∠CDF

∵∠CDF+∠ADF=90°

∴∠ADE+∠ADF=90°

∴∠EDF=90°

∴△EDF是等腰直角三角形

∴

∵CE=CF+EF

∴

∴線段AE，CE，DE的數量關系：CE-DE=AE.

故答案為：CE-DE=AE