Question

【題目】如圖，等邊△AOB中點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2 ，2），小明做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在x軸上取一動(dòng)點(diǎn)C，以AC為一邊畫出等邊△ACP，移動(dòng)點(diǎn)C時(shí)，探究點(diǎn)P的位置變化情況．

（1）如圖，小明將點(diǎn)C移至x軸負(fù)半軸，在AC的右側(cè)畫出等邊△ACP，并使得頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)，連接BP，求證：△AOC≌△ABP；
（2）小明在x軸上移動(dòng)點(diǎn)C，并在AC的右側(cè)畫出等邊△ACP時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)求出點(diǎn)P所在函數(shù)圖象的解析式．
（3）小明在x軸上移動(dòng)點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，若在AC的左側(cè)畫出等邊△ACP，點(diǎn)P會(huì)不會(huì)在某函數(shù)圖象上？若會(huì)在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)直接寫出該函數(shù)圖象的解析式，若不在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．

∴∠CAO=∠PAB．

在△AOC與△PAB中，

，

∴△AOC≌△ABP

（2）

解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線上，

在等邊△AOB中，B（2 ，2），

∴AB=4，

當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)，使得P在y軸上時(shí)，

∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，

∴PA= =8，

∴P（0，﹣4），

設(shè)直線PB的解析式為y=kx﹣4，把B（2 ，2）代入得到k= ，

∴點(diǎn)P所在函數(shù)圖象的解析式為y= x﹣4

（3）

會(huì)在函數(shù)的圖象上，如圖作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，OB′．

由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=﹣ x﹣4．

∴該函數(shù)圖象的解析式為y=﹣ x﹣4

【解析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS根據(jù)解決問(wèn)題．（2）首先證明點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線上，求出特殊點(diǎn)（P在y軸上的點(diǎn)），利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．（3）如圖作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=﹣ x﹣4．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°即可以解答此題．