【題目】如圖1, △ABC和△CDE均為等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a,且點A、D、E在同一直線上,連結BE.
(1)求證: AD=BE.
(2)如圖2,若a=90°,CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 試求AB的長.
(3)如圖3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接寫出AE的值(用a, b 的代數式表示).
【答案】(1)見解析;(2)26;(3)+b
【解析】
(1)由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE,再利用SAS判定△ACD≌△BCE,即可得到AD=BE;
(2)由等腰直角三角形的性質可得CM=DE,同(1)可證△ACD≌△BCE,得到AD=BE,然后可求AE的長,再判斷∠AEB=90°,即可用勾股定理求出AB的長;
(3)由等腰三角形的性質易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°,根據30度所對的直角邊是斜邊的一半可求出DE=2CM,然后利用三角形外角性質推出∠BEN=60°,在Rt△BEN中即可求出BE,由于BE=AD,所以利用AE=AD+DE即可得出答案.
證明:(1)∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE
(2)∵∠DCE=90°,CD=CE,
∴△DCE為等腰直角三角形,
∵CM⊥DE,
∴CM平分DE,即M為DE的中點
∴CM=DE,
∴DE=2CM=14,
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE=10,∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如圖,設AE,BC交于點H,
在△ACH和△BEH中,
∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH,而∠CAH=∠EBH,
∴∠BEH=∠ACH=90°,
∴△ABE為直角三角形
由勾股定理得
(3)由(1)(2)可得△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=∠EBC,
∵△ACB,△DCE都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°,
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM,
∴CD=CE=2CM,DM=EM=CM
∴DE=2CM=2b
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°,
∴∠NBE=30°,
∴BE=2EN,BN=EN
∵BN=a
∴BE=2EN==AD
∴AE=AD+DE=
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【題目】形如:的函數叫二次函數,它的圖象是一條拋物線.類比一元一次方程的解可以看成兩條直線的交點的橫坐標;則一元二次方程的解可以看成拋物線與直線(軸)的交點的橫坐標;也可以看成是拋物線與直線________的交點的橫坐標;也可以看成是拋物線________與直線的交點的橫坐標;
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【題目】有甲、乙兩個箱子,其中甲箱內有顆球,分別標記號碼,且號碼為不重復的整數,乙箱內沒有球.已知小育從甲箱內拿出顆球放入乙箱后,乙箱內球的號碼的中位數為.若此時甲箱內有顆球的號碼小于,有顆球的號碼大于,若他們的中位數都為,求的值.
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【題目】如圖,直線I表示一條公路,點A, B表示兩個村莊.現要在公路l上建一個加油站P.
(1)加油站P到A, B兩個村莊距離相等,用直尺(無刻度)和圓規(guī)在圖l中作出P的位置.
(2)若點A,B到直線l的距離分別是1km和4km,且A,B兩個村莊之間的距離為5km,加油站P到A, B兩個村莊之間的距離最小,在圖2中作出P的位置(作圖工具不限),最短距離為__ _ km.
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【題目】某數學興趣小組對關于的方程提出了下列問題.
若使方程為一元二次方程,是否存在?若存在,求出并解此方程.
若使方程為一元一次方程,是否存在?若存在,請求出.你能解決這個問題嗎?
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【題目】已知,在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC.
(1)(特殊情況,探索結論)
如圖1,當點E為AB的中點時,確定線段AE與DB的大小關系,請你直接寫出結論:
AE DB(填“>”、“<”或“=”).
(2)(特例啟發(fā),解答題目)
如圖2,當點E為AB邊上任意一點時,確定線段AE與DB的大小關系,請你直接寫出結論,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,過點E作EF∥BC,交AC于點F.(請你將解答過程完整寫下來).
(3)(拓展結論,設計新題)
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在線段CB的延長線上,且ED=EC,若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長.(請你畫出相應圖形,并直接寫出結果).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E,點F在AC上,且BD=DF.
(1)求證:CF=EB;
(2)請你判斷AE、AF與BE之間的數量關系,并說明理由.
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