【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)△OMN的面積為S,直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤6),試求S與t的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在題(2)的條件下,是否存在某一時(shí)刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4?如果存在,請(qǐng)求出t的取值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(2,2),B(6,2);(2)S=t2;S=t;S=﹣t2+3t;(3)不存在,理由見解析;不存在某一時(shí)刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4.
【解析】
(1)根菱形性質(zhì)得出OA=AB=BC=CO=4,過A作AD⊥OC于D,求出AD、OD,即可得出答案;
(2)有三種情況:①當(dāng)0≤t≤2時(shí),直線l與OA、OC兩邊相交,②當(dāng)2<t≤4時(shí),直線l與AB、OC兩邊相交,③當(dāng)4<t≤6時(shí),直線l與AB、BC兩邊相交,畫出圖形求出即可;
(3)分為以上三種情況,求出得到的方程的解,看看是否在所對(duì)應(yīng)的范圍內(nèi),即可進(jìn)行判斷.
解:(1)∵四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0),
∴OA=AB=BC=CO=4,
過A作AD⊥OC于D,
∵∠AOC=60°,
∴OD=2,AD=,
∴A(2,),B(6,);
(2)直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況:①如圖1,
當(dāng)0≤t≤2時(shí),直線l與OA、OC兩邊相交,
∵MN⊥OC,
∴ON=t,
∴MN=ONtan60°=t,
∴S=ONMN=t2;
②當(dāng)2<t≤4時(shí),直線l與AB、OC兩邊相交,如圖2,
S=ONMN=×t×=t;
③當(dāng)4<t≤6時(shí),直線l與AB、BC兩邊相交,如圖3,
設(shè)直線l與x軸交于H,
MN=,
∴S=MNOH=(t)t=;
(3)答:不存在,
理由是:假設(shè)存在某一時(shí)刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4,
菱形AOCB的面積是4×2=8,
①t2:8=3:4,
解得:t=±2,
∵0≤t≤2,
∴此時(shí)不符合題意舍去;
②t:8=3:4,
解得:t=6(舍去);
③():8=3:4,
此方程無解.
綜合上述,不存在某一時(shí)刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如何求tan75°的值?按下列方法作圖可解決問題,如圖,在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,在射線BM上截取線段BD,使BD=AB,連接AD,依據(jù)此圖可求得tan75°的值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10,以AB為直徑的OO與BC相交于點(diǎn)D,與AC相交于點(diǎn)E,DF⊥AC,垂足為F,連接DE,過點(diǎn)A作AG⊥DE,垂足為G,AG與⊙O交于點(diǎn)H.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若∠CAG=25°,求弧AH的長(zhǎng);
(3)若tan∠CDF=,求AE的長(zhǎng);
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【題目】某校1200名學(xué)生發(fā)起向貧困山區(qū)學(xué)生捐款活動(dòng),為了解捐款情況,學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的捐款金額,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量為____;
(2)圖①中“20元”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為_____°;
(3)估計(jì)該校本次活動(dòng)捐款金額為15元以上(含15元)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,BD=DC,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E,⊙O經(jīng)過A,B,D三點(diǎn).
(1)求證:AB是⊙O的直徑;
(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并加以證明;
(3)若⊙O的半徑為3,∠BAC=60°,求DE的長(zhǎng).
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【題目】“大美濕地,水韻鹽城”.某校數(shù)學(xué)興趣小組就“最想去的鹽城市旅游景點(diǎn)”隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生,要求每位同學(xué)選擇且只能選擇一個(gè)最想去的景點(diǎn),下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)整理后繪制出的不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)求被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù);
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并求扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“最想去景點(diǎn)D”的扇形圓心角的度數(shù);
(3)若該校共有800名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)“最想去景點(diǎn)B“的學(xué)生人數(shù).
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【題目】△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α(0°<α≤90°),點(diǎn)F,G,P分別是DE,BC,CD的中點(diǎn),連接PF,PG.
(1)如圖①,α=90°,點(diǎn)D在AB上,則∠FPG= °;
(2)如圖②,α=60°,點(diǎn)D不在AB上,判斷∠FPG的度數(shù),并證明你的結(jié)論;
(3)連接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)PF的長(zhǎng)最大時(shí),FG的長(zhǎng)為 (用含α的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將拋物線M1:y=ax2+4x向右平移3個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,得到拋物線M2,直線y=x與M1的一個(gè)交點(diǎn)記為A,與M2的一個(gè)交點(diǎn)記為B,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣3.
(1)求a的值及M2的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作x軸的垂線,垂足為D,在CD的右側(cè)作正方形CDEF.
①當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時(shí),直線y=x+n恰好經(jīng)過正方形CDEF的頂點(diǎn)F,求此時(shí)n的值;
②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中,若直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn),求n的取值范圍(直接寫出結(jié)果).
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【題目】在矩形ABCD中,M為AD邊上一點(diǎn),MB平分∠AMC.
(1)如圖1,求證:BC=MC;
(2)如圖2,G為BM的中點(diǎn),連接AG、DG,過點(diǎn)M作MN∥AB交DG于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)N.
①求證:AG⊥DG;
②當(dāng)DGGE=13時(shí),求BM的長(zhǎng).
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