Question

【題目】如圖，將拋物線M1：y＝ax2+4x向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線M2，直線y＝x與M1的一個(gè)交點(diǎn)記為A，與M2的一個(gè)交點(diǎn)記為B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣3．

（1）求a的值及M2的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，在CD的右側(cè)作正方形CDEF．

①當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時(shí)，直線y＝x+n恰好經(jīng)過(guò)正方形CDEF的頂點(diǎn)F，求此時(shí)n的值；

②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線y＝x+n與正方形CDEF始終沒(méi)有公共點(diǎn)，求n的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）M2的頂點(diǎn)為（1，﹣1），M2的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；（2）①n＝﹣2；②n＞3，n＜﹣6．

【解析】

(1)將點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入y＝x，即可得出點(diǎn)A縱坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在拋物線M1：y＝ax2+4x上，代入即可得出a的值，將拋物線M1化為頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的原則即可得出拋物線M2；

(2)①把點(diǎn)C橫坐標(biāo)代入y＝x，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，把點(diǎn)F代入y＝x+n即可得出n的值；

②根據(jù)直線y＝x+n與正方形CDEF始終沒(méi)有公共點(diǎn)，直接可得出n的取值范圍．

(1)∵點(diǎn)A在直線y＝x，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣3，

∴A(﹣3，﹣3)，

把A(﹣3，﹣3)代入y＝ax2+4x，

解得a＝1，

∴M1：y＝x2+4x，頂點(diǎn)為(﹣2，﹣4)，

∴M2的頂點(diǎn)為(1，﹣1)，

∴M2的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；

(2)①由題意，C(2，2)，

∴F(4，2)，

∵直線y＝x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，

∴2＝4+n，

解得n＝﹣2；

②將y=x代入y＝x2﹣2x，得

x2﹣2x=x，解得：x1=0，x2=3，

∴點(diǎn)B(3，3)，

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3，0)，

此時(shí)有-3+n=0，解得：n=3；

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6，0)，

此時(shí)有6+n=0，解得：n=-6，

綜上可知，當(dāng)直線y=x+n與正方形CDEF始終沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，n＞3或n＜﹣6．