Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OD交線段AC于點(diǎn)E．

（1）求這條拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求∠ACB的正切值；

（3）當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，4）；（2）2；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）或（﹣，2）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，構(gòu)造直角和直角，利用勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，構(gòu)造直角，設(shè)，則并由題意可知點(diǎn)D位于第二象限，由于是公共角，所以當(dāng)與相似時(shí)，有2種情況：①，即，由銳角三角函數(shù)的定義列出比例式，即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)，②，即，由銳角三角函數(shù)的定義列出比例式，即可得到D點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)，，分別代入得：

，解得：

故拋物線解析式為：

由于

所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H

∵，OA＝OC＝3

∴，

∵

∴

∴

∵在直角中，，AB＝4

∴

∴

∵

∴；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K

設(shè)，則．并由題意知點(diǎn)D位于第二象限

∴，

∵∠BAC是公共角

∴當(dāng)與相似時(shí)，有2種情況：

①∠AOD＝∠ABC

∴

∴＝3，解得x1＝，x2＝，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x1＝，x2＝時(shí)原分式方程有意義

∵點(diǎn)D位于第二象限

∴x2＝舍去

∴；

②∠AOD＝∠ACB

∴

∴＝2，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)，時(shí)原分式方程有意義

∵點(diǎn)D位于第二象限

∴舍去

∴

綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)是或．