【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,OC=3OA.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線,與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長(zhǎng)度.

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3),

又∵OC=3OA,

∴OA=1,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),

將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得:

解得: ,

故這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3


(2)

解:在該拋物線上存在點(diǎn)F(2,﹣3),使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

理由:由(1)得D(1,﹣4),則直線CD的解析式為:y=﹣x﹣3,

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3,0),

∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,﹣3)或(﹣2,﹣3)或(﹣4,3),

代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn),只有(2,﹣3)符合.

∴拋物線上存在點(diǎn)F(2,﹣3),使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形


(3)

解:①如圖,當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí),設(shè)圓的半徑為R(R>0),

則N(R+1,R),代入拋物線的表達(dá)式,解得R= ,

其中R= (不合題意,舍去),

∴R=

②如圖,當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí),設(shè)圓的半徑為r(r>0),

則N(r+1,﹣r),

代入拋物線的表達(dá)式,解得:r= ,

其中r= (不合題意,舍去),

∴r=

綜合①②得:圓的半徑為


【解析】(1)分別確定A、B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)根據(jù)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,可得點(diǎn)F的可能坐標(biāo),再由點(diǎn)F在拋物線上,可最終確定;(3)分兩種情況討論,①M(fèi)N在x軸上,②MN在x軸下,表示出N的坐標(biāo),代入拋物線解析式可得半斤的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有(

A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
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(1)你能利用該統(tǒng)計(jì)圖求出平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)中的哪些統(tǒng)計(jì)量?并直接寫出結(jié)果;

(2)小穎認(rèn)為,若從該射擊隊(duì)中任意挑選四名隊(duì)員,則必有一名隊(duì)員的年齡是15歲.你認(rèn)為她的判斷正確嗎?為什么?

(3)小亮認(rèn)為,可用該統(tǒng)計(jì)圖求出方差.你認(rèn)同他的看法嗎?若認(rèn)同,請(qǐng)求出方差;若不認(rèn)同,請(qǐng)說明理由.

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(2)當(dāng)b為何值時(shí),△OFC是等腰三角形;

(3)當(dāng)FC平分∠EFB時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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