【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線yx+1x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,以x=﹣1為對稱軸的拋物線y=﹣x2+bx+cx軸分別交于點(diǎn)A、C

1)求拋物線的解析式;

2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn),設(shè)拋物線的對稱軸lx軸交于一點(diǎn)D,連接PD,交ABE,求出當(dāng)以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)若點(diǎn)Q在第二象限內(nèi),且tanAQD2,線段CQ是否存在最小值?如果存在直接寫出最小值,如果不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣14)或(﹣2,3);(3)存在,CQ的最小值為-.

【解析】

1)利用對稱性和待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式;

2)分類討論三角形相似情況即可;

3)由已知,滿足條件的Q點(diǎn)在以A、DF(﹣1,1)的圓E在第二象限的部分,連接CE交圓于Q,則CQ最小.

解:(1)∵直線yx+1x軸交點(diǎn)為A,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),

∵拋物線的對稱軸為x=﹣1,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),

∵拋物線y=﹣x2+bx+cx軸分別交于點(diǎn)AC,

∴拋物線為y=﹣(x+3)(x1)=﹣x22x+3;

2)∵拋物線y=﹣x22x+3的對稱軸為x=﹣1

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣10),

①當(dāng)∠ADE90°時(shí),△ADE∽△AOB.此時(shí)點(diǎn)P在對稱軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),坐標(biāo)為(﹣1,4);

②當(dāng)∠AED90°時(shí),△AED∽△AOB

過點(diǎn)PPGAC于點(diǎn)G,則△AED∽△PGD

于是,

PG3GD

即:﹣t22t+33(﹣1t),

解得 t1=﹣2,t23(不合題意,舍去).

當(dāng)t=﹣2時(shí),﹣22+2×2+33

所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,3).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣1,4)或(﹣23);

3)存在,CQ的最小值為,

如圖,取點(diǎn)F(﹣1,1),過點(diǎn)ADF作圓,則點(diǎn)E(﹣2)為圓心.

tanAFD2,

∴圓弧AFDA、D除外)上的點(diǎn)都是滿足條件的Q點(diǎn).

CE交⊙E于點(diǎn)Q,則CQ為滿足條件的最小值,

此時(shí)CE,⊙E半徑為,

CQ最小值為

故答案為:(1y=﹣x22x+3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣1,4)或(﹣2,3);(3)存在,CQ的最小值為-.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABCO的內(nèi)接三角形,其中ABO的直徑,過點(diǎn)AO的切線PA

1)求證:∠PAC=∠ABC;

2)若∠PAC30°,AC3,求劣弧AC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,ABAC10,以AB為直徑的⊙OBC交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連ODBE于點(diǎn)M,且MD2

1)求BE長;(2)求tanC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AD、BD是半圓的弦,且∠PDA=∠PBD

1)求證:PD是⊙O的切線;

2)如果,PD,求PA的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)ABx軸的正半軸上,反比例函數(shù)y(k0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.若AB4,CE2BE,tanAOD,則k的值_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線yax2+bx+ca<0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),則下列結(jié)論:

①4a+2b<0;

②﹣1≤a

對于任意實(shí)數(shù)m,a+bam2+bm總成立;

關(guān)于x的方程ax2+bx+cn﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( 。

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1是某小區(qū)入口實(shí)景圖,圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已知入口BC3.9米,門衛(wèi)室外墻AB上的O點(diǎn)處裝有一盞路燈,點(diǎn)O與地面BC的距離為3.3米,燈臂OM長為1.2米(燈罩長度忽略不計(jì)),∠AOM60°.

1)求點(diǎn)M到地面的距離;

2)某搬家公司一輛總寬2.55米,總高3.5米的貨車從該入口進(jìn)入時(shí),貨車需與護(hù)欄CD保持0.65米的安全距離,此時(shí),貨車能否安全通過?若能,請通過計(jì)算說明;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.73,結(jié)果精確到0.01米)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處,點(diǎn)B1x軸上,再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置,點(diǎn)C2x軸上,將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置,點(diǎn)A2x軸上,……,依次進(jìn)行下去,若點(diǎn)A0),B0,2),則點(diǎn)B2019的坐標(biāo)為_____

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案