Question

【題目】在矩形 中， ， ，點 是 邊上一點，過點 作 ，交射線 于點 ，交射線 于點 ．

（1）如圖1，若 ，則 度；
（2）當(dāng)以 ， ， 為頂點的三角形是等邊三角形時，依題意在圖2中補全圖形并求 的長；
（3）過點 作 ∥ 交射線 于點 ，請?zhí)骄浚寒?dāng) 為何值時，以 ， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）

解：補全圖形，如圖所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=12，∠D=90°．

∵△ 是等邊三角形，

∴GC=FC ， ．

∵∠2=∠3，

∴∠3=60°

在Rt△CDF中，DC=8 ，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（3）

解：解法一：

過點F作FK⊥BC于點K，如圖．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠5=∠ABC=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∴GK=CK．

∵四邊形FHEC是平行四邊形，

∴FG=EG．

∵∠2=∠4，∠FKG=∠5=90°，

∴△FGK≌△EGB．

∴ ．

∴當(dāng) 時，以 ， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形．

解法二：如圖．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABG=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∵四邊形FHEC是平行四邊形，

∴CG = HG ,FG=EG,HE=FC．

∴EG=EH．

又∵∠ABG=90°，

∴BG=BH=x．

∴CG=HG=2x．

∴x+2x=12．

∴x=4．

∴當(dāng) 時，以 ， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形

【解析】 （1）由矩形的性質(zhì)得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，進而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的長，再利用三角函數(shù)求得∠DFC=45°，即可得 ∠CFG=90°；
（2）先畫出圖形，由矩形與等邊三角形的性質(zhì)得到∠DFC=60°，利用三角函數(shù)求得FC的長，即為GC的長，再求BG即可；
（3）過點F作FK⊥BC于點K，由矩形的性質(zhì)推出∠KCF=∠KGF，F(xiàn)G=FC，所以GK=CK．因為四邊形FHEC是平行四邊形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC= =4．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．