Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，點P從A出發(fā)在線段AD上以1個單位/秒向點D運動，點Q同時從點C出發(fā)，以1個單位/秒的速度向點A運動，當點P到達點D時，點Q也隨之停止運動．

（1）設△APQ的面積為S，點P的運行時間為t，求S與t的函數關系式；

（2）t取幾時S的值最大，最大值是多少？

（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；（2）當t＝5時，△APQ的面積S取得最大值，為；（3）當t＝5或t＝或t＝ 時，△APQ是等腰三角形．

【解析】

（1）利用sin∠ACB=，得出sin∠PAQ=，即可得出QF=AQsin∠PAQ=（10-t），進而表示出△APQ的面積為S；

（2）利用二次函數最值求法運用配方法求出，得出最值；

（3）根據當AP=AQ時和當PA=PQ時當QA=QP時，分別得出t的值．

（1）在△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，

根據勾股定理得AC＝10，

∴sin∠ACB＝，同法可得sin∠PAQ＝，

過點Q作QF⊥AD于點F，

在Rt△AQF中，

∵AQ＝10﹣t，

∴QF＝AQsin∠PAQ＝（10﹣t），

∴S＝×t×（10﹣t），

即S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；

（2）∵S＝﹣（t2﹣10t+25）+＝﹣（t﹣5）2+，

當t＝5時，△APQ的面積S取得最大值，為；

（3）△APQ是等腰三角形，

①當AP＝AQ時，

t＝10﹣t，

則t＝5，

②當PA＝PQ時，作PE⊥AQ于E

∵cos∠OAQ＝，則AE＝t，

∴AQ＝t，

∴t+t＝10，

∴t＝，

③當QA＝QP時，作QF⊥AD于點F，

∴AF＝（10﹣t），

∴（10﹣t）＝t，

∴t＝，

綜上所述，當t＝5或t＝或t＝時，△APQ是等腰三角形．