Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x²+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），B（x₁，0），C（x₂，0）三點(diǎn)，且|x₂﹣x₁|=5．

（1）求b，c的值；

（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣4），

∴c=﹣4

又∵由題意可知，x₁、x₂是方程﹣x²+bx﹣4=0的兩個(gè)根，

∴x₁+x₂=b，x₁x₂=6

由已知得（x₂﹣x₁）²=25

又∵（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₁x₂=b²﹣24

∴b²﹣24=25

解得b=±，當(dāng)b=時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．

∴b=﹣．

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對稱軸上，

又∵y=﹣x²﹣x﹣4=﹣（x+）²+，

∴拋物線的頂點(diǎn)（﹣，）即為所求的點(diǎn)D．

（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線x=﹣3與

拋物線y=﹣x²﹣x﹣4的交點(diǎn)，

∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=﹣×（﹣3）²﹣×（﹣3）﹣4=4，

∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．

四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻�四邊形BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（﹣3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上