【題目】如圖,已知∠DAC90°ABC是等邊三角形,點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合),連接CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連接QB并延長(zhǎng)交直線ADE

1)如圖1,猜想∠QEP   ;

2)如圖2,若當(dāng)∠DAC是銳角時(shí),其他條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),并證明;

3)如圖3,若∠DAC135°,∠ACP15°,且AC6,求BQ的長(zhǎng).

【答案】160°;(2)∠QEP60°.證明見(jiàn)解析;(3BQ33

【解析】

1)如圖1,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCA=QCB,進(jìn)而可利用SAS證明△CQB≌△CPA,進(jìn)而得∠CQB=CPA,再在△PEM和△CQM中利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠QEP=QCP,從而完成猜想;

2)以∠DAC是銳角為例,如圖2,仿(1)的證明思路利用SAS證明△ACP≌△BCQ,可得∠APC=Q,進(jìn)一步即可證得結(jié)論;

3)仿(2)可證明△ACP≌△BCQ,于是AP=BQ,再求出AP的長(zhǎng)即可,作CHADH,如圖3,易證∠APC=30°,△ACH為等腰直角三角形,由AC=4可求得CH、PH的長(zhǎng),于是AP可得,問(wèn)題即得解決.

解:(1)QEP=60°;

證明:連接PQ,如圖1,由題意得:PC=CQ,且∠PCQ=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=60°,

∴∠PCA=QCB

則在△CPA和△CQB中,

∴△CQB≌△CPA(SAS),

∴∠CQB=CPA

又因?yàn)椤?/span>PEM和△CQM中,∠EMP=CMQ

∴∠QEP=QCP=60°

故答案為:60°;

(2)QEP=60°

證明:如圖2,∵△ABC是等邊三角形,

AC=BC,∠ACB=60°,

∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ

CP=CQ,∠PCQ=60°

∴∠ACB+BCP=BCP+PCQ,

即∠ACP=BCQ

在△ACP和△BCQ中,

∴△ACP≌△BCQ(SAS),

∴∠APC=Q,

∵∠1=2,

∴∠QEP=PCQ=60°;

(3)連結(jié)CQ,作CHADH,如圖3,

(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ

AP=BQ,

∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,

∴∠APC=30°,∠CAH=45°,

∴△ACH為等腰直角三角形,

AH=CH=AC=×4=

RtPHC中,PH=CH=,

PA=PHAH=

BQ=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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轎車行駛的路程s(km)

0

100

200

300

400

油箱剩余油量Q(L)

50

42

34

26

18

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