Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°．
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）若AB=1，求S_{四邊形ABCD}的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設(shè)AB、BC、CD、DA分別為2x、2x、3x、x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC=45°，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠CAD=90°，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接AC，
設(shè)AB、BC、CD、DA分別為2x、2x、3x、x，
∵∠B=90°，AB=2x，BC=2x，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，∠BAC=45°，
∵AC²+AD²=（2$\sqrt{2}$x）²+x²=9x²，CD²=9x²，
∴AC²+AD²=CD²，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°；
（2）∵AB=1，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，
∴BC=1，CD=$\frac{3}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，
由（1）得AC=$\sqrt{2}$，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△DAC=$\frac{1}{2}$×AB×BC$+\frac{1}{2}$×AD×AC=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a²+b²=c²．如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．