Question

【題目】如圖（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分線OC交AB于C，過(guò)O點(diǎn)作與OB垂直的直線ON．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC﹣CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO﹣ON以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求OC、BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t＝1時(shí)，求△CPQ的面積；

（3）當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）S△PQC＝；（3）t為或時(shí)，△OPM是等腰三角形．

【解析】

（1）求出∠B，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出OA，求出AB，在△AOC中，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于OC的方程，求出OC即可；

（2）如圖1﹣1中，作CH⊥PQ于H．當(dāng)t＝1時(shí)，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，求出PQ，CH即可解決問(wèn)題．

（3）有三種情況：①OM＝PM時(shí)，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP時(shí)，此時(shí)不存在等腰三角形；③OM＝OP時(shí)，過(guò)P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．

解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，

∴∠B＝30°，

∴OA＝OB＝，

由勾股定理得：AB＝3，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，

∴OC＝BC，

在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，

∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，

∴OC＝2＝BC，

∴OC＝2，BC＝2．

（2）如圖1﹣1中，作CH⊥PQ于H．當(dāng)t＝1時(shí)，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，

∴PQ∥OB，

∴∠CPQ＝∠B＝30°，

∵CQ＝CP．CH⊥QP，

∴QH＝PH，

∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝，

∴QP＝

∴S△PQC＝PQCH＝××＝．

（3）如圖（2）所示：

∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，

∵∠B＝30°，∠A＝90°，

∴∠AOB＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°，

∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，

①OM＝PM時(shí)，

∠MOP＝∠MPO＝30°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，

∴OP＝2OQ，

∴2（t﹣2）＝4﹣t，

解得：t＝，

②PM＝OP時(shí)，

此時(shí)∠PMO＝∠MOP＝30°，

∴∠MPO＝120°，

∵∠QOP＝60°，

∴此時(shí)不存在；

③OM＝OP時(shí)，

過(guò)P作PG⊥ON于G，

OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，

∴∠OPG＝30°，

∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），

∵∠AOC＝30°，OM＝OP，

∴∠OPM＝∠OMP＝75°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，

∴PG＝QG＝（4﹣t），

∵OG+QG＝OQ，

∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，

解得：t＝．

綜合上述：當(dāng)t為或時(shí)，△OPM是等腰三角形．