【題目】如圖,已知:關于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式;

(2)y軸上是否存在一點P,使PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標;

(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當點M 達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,MNB面積最大,試求出最大面積.

【答案】(1);(2)存在;(3)1.

【解析】試題分析:(1)把A1,0)和C0,3)代入y=x2+bx+c得方程組,解方程組即可得二次函數(shù)的表達式;

2)先求出點B的坐標,再根據(jù)勾股定理求得BC的長,當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論:①CP=CB;②BP=BC③PB=PC;分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標;

3)設AM=tDN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×2﹣t×2t=﹣t2+2t,把解析式化為頂點式,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得△MNB最大面積;此時點MD點,點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處.

試題解析:解:(1)把A1,0)和C0,3)代入y=x2+bx+c

解得:b=﹣4,c=3,

二次函數(shù)的表達式為:y=x2﹣4x+3;

2)令y=0,則x2﹣4x+3=0

解得:x=1x=3,

∴B3,0),

∴BC=3,

Py軸上,當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論:如圖1,

CP=CB時,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P103+3),P203﹣3);

PB=PC時,OP=OB=3

∴P3﹣3,0);

BP=BC時,

∵OC=OB=3

此時PO重合,

∴P40,0);

綜上所述,點P的坐標為:(03+3)或(0,3﹣3)或(﹣3,0)或(0,0);

3)如圖2,設AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,則DN=2t,

∴S△MNB=×2﹣t×2t=﹣t2+2t=﹣t﹣12+1,

當點M出發(fā)1秒到達D點時,△MNB面積最大,最大面積是1.此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處.

練習冊系列答案
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矩形(正方形)

,

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