【題目】在平面直角坐標系中,我們定義直線y=axa為拋物線a、bc為常數(shù),a0)的“夢想直線”;有一個頂點在拋物線上,另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”.

已知拋物線與其“夢想直線”交于AB兩點(點A在點B的左側),與x軸負半軸交于點C

1)填空:該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ,點A的坐標為 ,點B的坐標為

2)如圖,點M為線段CB上一動點,將△ACMAM所在直線為對稱軸翻折,點C的對稱點為N,若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”,求點N的坐標;

3)當點E在拋物線的對稱軸上運動時,在該拋物線的“夢想直線”上,是否存在點F,使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點E、F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(﹣2, );(1,0);(2N點坐標為(0, 3)或(, );(3E(﹣1,﹣)、F0, )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4, ).

【解析】試題分析:(1)由夢想直線的定義可求得其解析式,聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標;

2)當N點在y軸上時,過AADy軸于點D,則可知AN=AC,結合A點坐標,則可求得ON的長,可求得N點坐標;當M點在y軸上即M點在原點時,過NNPx軸于點P,由條件可求得NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MPNP的長,則可求得N點坐標;

3)當AC為平行四邊形的一邊時,過F作對稱軸的垂線FH,過AAKx軸于點K,可證EFH≌△ACK,可求得DF的長,則可求得F點的橫坐標,從而可求得F點坐標,由HE的長可求得E點坐標;當AC為平行四邊形的對角線時,設E﹣1t),由A、C的坐標可表示出AC中點,從而可表示出F點的坐標,代入直線AB的解析式可求得t的值,可求得E、F的坐標.

1拋物線,其夢想直線的解析式為,聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得 ,解得 A2, ),B1,0),故答案為: ;(2, );(1,0);

2)當點Ny軸上時,AMN為夢想三角形,如圖1,過AADy軸于點D,則AD=2中,令y=0可求得x=3x=1,C3,0),且A2 ),AC= =,由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=,在RtAND中,由勾股定理可得DN= = =3OD=,ON=3ON=+3,當ON=+3時,則MNODCM,與MN=CM矛盾,不合題意,N點坐標為(0, 3);

M點在y軸上時,則MO重合,過NNPx軸于點P,如圖2,在RtAMD中,AD=2OD=,tanDAM==,∴∠DAM=60°,ADx軸,∴∠AMC=DAO=60°,又由折疊可知NMA=AMC=60°,∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,MP=MN=,NP=MN=,此時N點坐標為( );

綜上可知N點坐標為(0, 3)或(, );

3AC為平行四邊形的邊時,如圖3,過F作對稱軸的垂線FH,過AAKx軸于點K,則有ACEFAC=EF,∴∠ACK=EFH,在ACKEFH,∵∠ACK=EFH,AKC=EHF,AC=EF,∴△ACK≌△EFHAAS),FH=CK=1,HE=AK=拋物線對稱軸為x=1,F點的橫坐標為0或﹣2F在直線AB上,F點橫坐標為0時,則F0, ),此時點E在直線AB下方,Ey軸的距離為EHOF==,即E點縱坐標為﹣,E1);

F點的橫坐標為﹣2時,則FA重合,不合題意,舍去;

AC為平行四邊形的對角線時,C3,0),且A2, ),線段AC的中點坐標為(﹣2.5, ),設E1,t),Fxy),則x1=2×2.5),y+t=,x=4,y=t,代入直線AB解析式可得t=×4+,解得t=,E1),F4 );

綜上可知存在滿足條件的點F,此時E1, )、F0, )或E1,)、F4, ).

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小華列出表格如下:

1

2

3

4

1

11

2,1

31

4,1

2

1,2

2,2

4,2

3

1,3

2,3

33

4,3

4

1,4

24

3,4

4,4

1)根據(jù)樹形圖分析,小明的游戲規(guī)則是,隨機抽出一張卡片后 (填放回不放回),再隨機抽出一張卡片;根據(jù)表格分析,小華的游戲規(guī)則是,隨機抽出一張卡片后 (填放回不放回),再隨機抽出一張卡片。

2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對為    。

3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,誰獲勝的可能性大?為什么?

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(2)操作:若將圖1中的△C′DE,繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度α,連接AD,BE,如圖3;在圖3中,線段BE與AD之間具有怎樣的大小關系?證明你的結論;

猜想與發(fā)現(xiàn):

(3)根據(jù)上面的操作過程,請你猜想當α為多少度時,線段AD的長度最大是多少?當α為多少度時,線段AD的長度最小是多少?

 

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