Question

（2009•青浦區(qū)一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，DC=6，sinB=，點P、Q分別是邊BC、對角線AC上的動點，（點P不與B、C重合），∠APQ=∠DAC=∠B，設(shè)PB=x，AQ=y．
（1）求BC的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當△APQ是等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AH⊥BC于H，已知∠DAC=∠B，易知∠DAC=∠BCA，則∠B=∠ACB，△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知BC=2BH，因此欲求BC，只需求得BH即可；Rt△ABH中，已知了AH（即CD）的長和∠B的正弦值，通過解直角三角形即可求得BH的長，由此得解；
（2）此題可通過證△ABP∽△PQC，根據(jù)得到的比例線段來求出x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（3）此題要分三種情況討論：
①AP=PQ，此時（2）中得到的兩個相似三角形應該全等，得PC=AB=AC，由此可求得x的值；
②AQ=PQ，此時∠PAQ=∠APQ=∠B，易證得△BCA∽△ACP，根據(jù)得到的比例線段可求得x的值；
③AP=AQ，此時∠APQ=∠AQP，而∠APQ=∠B=∠ACB，即∠AQP=∠ACP，那么Q、C重合，P、B重合，與已知不相符，此種情況不成立．
綜合上述三種情況即可得到符合條件的x的值．
解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足為H．（1分）
由∠D=90°，得 DC⊥AD，
由AD∥BC，得 DC⊥BC．
又∵AH⊥BC，
∴AH=DC=6．（1分）
在Rt△ABH中，sinB=，
∵sinB=，AH=6，
∴AB=10；
由勾股定理得 BH=8．（1分）
由AD∥BC，得∠DAC=∠ACB，
又∵∠DAC=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC．
又∵AH⊥BC，
∴BC=2BH=16．（1分）

（2）∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC，
又∵∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
又∵∠B=∠ACB，即∠B=∠QCP，
∴△ABP∽△PCQ．（2分）
∴，（1分）
即．
整理得，（2分）
（0＜x＜16）．（1分）

（3）當△APQ是等腰三角形時，分三種情況：
①當PA=PQ時，
∵∠B=∠QCP，∠BAP=∠QPC，∴△ABP≌△PCQ；
∴PC=AB，即BC-PB=AB，
∴16-x=10，解得 x=6；                         （1分）
②當AQ=PQ時，∠QAP=∠APQ，
∵∠APQ=∠B，∴∠QAP=∠B，即∠PAC=∠B；
又∵∠ACP=∠BCA（公共角），∴△ACP∽△BCA；
∴，
∴AC²=PC•BC，即10²=（16-x）•16，
解得；                                 （1分）
③當AQ=AP時，則有∠AQP=∠APQ，
∵∠APQ=∠ACB，∴∠AQP=∠ACB，
此時，點Q與點C重合，則有點P與點B重合，這與點P不與點B重合矛盾，所以AQ≠AP；（1分）
綜上所述，當△APQ是等腰三角形時，x=6或．    （1分）
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想．