【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)PAB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作ACBD的垂線,分別交AC,BD于點(diǎn)E,F,交AD,BC于點(diǎn)MN.下列結(jié)論:①△APE≌△AME;PM+PN=ACPE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF當(dāng)PMN∽△AMP時(shí),點(diǎn)PAB的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有(  )個(gè).

A.5 B.4 C.3 D.2

【答案】B.

【解析】

試題分析:四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAC=DAC=45°

APE和AME中,

∴△APE≌△AME,故正確;

PE=EM=PM,

同理,F(xiàn)P=FN=NP.

正方形ABCD中ACBD,

PEAC,PFBD,

∴∠PEO=EOF=PFO=90°,且APE中AE=PE

四邊形PEOF是矩形.

PF=OE,

PE+PF=OA,

PE=EM=PM,F(xiàn)P=FN=NP,OA=AC,

PM+PN=AC,故正確;

四邊形PEOF是矩形,

PE=OF,

在直角OPF中,OF2+PF2=PO2,

PE2+PF2=PO2,故正確.

∵△BNF是等腰直角三角形,而POF不一定是,故錯(cuò)誤;

∵△AMP是等腰直角三角形,當(dāng)PMN∽△AMP時(shí),PMN是等腰直角三角形.

PM=PN,

∵△AMP和BPN都是等腰直角三角形,

AP=BP,即P時(shí)AB的中點(diǎn).故正確.

故選B.

考點(diǎn): 1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.勾股定理;4.正方形的性質(zhì).

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