【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點E,點D在AB邊上且DE⊥BE.
(1)判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AD=6,AE=6,求△DBE外接圓的半徑及CE的長.
【答案】(1)直線AC與△DBE外接圓相切,理由見解析;(2)外接圓的半徑為3,CE的長為2
【解析】
(1)連接,根據(jù)直線與圓相切的判定定理,需證明,即,已知,則需證明,根據(jù)等腰三角形結(jié)合平分的條件即可證明.
(2)根據(jù)已知條件,可設(shè)圓的半徑為,在中根據(jù)勾股定理列方程解答即可;求,可過作于,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,故在中用等面積法求即可.
解:(1)直線AC與△DBE外接圓相切.理由:
∵DE⊥BE
∴BD為△DBE外接圓的直徑
取BD的中點O(即△DBE外接圓的圓心),連接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°
即OE⊥AC
∴直線AC與△DBE外接圓相切;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則在Rt△AOE中,AD=6,AO=r+6,AE=6,
OA2=OE2+AE2,
即:(r+6)2=r2+(6)2,
解得:r=3
則△BDE的外接圓的半徑為3.
過點E作EF⊥AB于F,
∵BE平分∠ABC,∠C=90°
∴EF=EC
在Rt△AOE中,AO=6+3=9,
EF=
∴CE=EF=2
∴外接圓的半徑為3,CE的長為2.
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【題目】如圖,已知⊙C的半徑為2,圓外一點O滿足OC=3.5,點P為⊙C上一動點,經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不經(jīng)過點C,則AB的最小值為( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
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【題目】設(shè)是的平均數(shù),即,則方差,它反映了這組數(shù)的波動性,
(1)證明:對任意實數(shù)a,x1a,x2a,…,xna,與x1,x2,…,xn 方差相同;
(2)證明;
(3)以下是我校初三(1)班 10 位同學的身高(單位:厘米):
169,172,163,173,175,168,170,167,170,171,計算這組數(shù)的方差.
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【題目】如圖,為的外接圓,,作直線,于.
(1)圖1,求證:是的切線;
(2)圖2,交于點,過點作,垂足為,交于點.
①求證:;
②若,,求的長.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,點P在BA的延長線上,PD與⊙O相切,D為切點,若∠BCD=125°,則∠ADP的大小為( )
A.25°B.40°C.35°D.30°
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【題目】如圖,在直角坐標系內(nèi),已知A(2,3),B(4,1),直線l過P(m,0),A、B關(guān)于l的對稱點分別為A’、B’,請利用直尺(無刻度)和圓規(guī)按下列要求作圖.
(1)當A’與B重合時,請在圖1中畫出點P位置,并求出m的值;
(2)當A’、B’都落在y軸上時,請在圖2中畫出直線l,并求出m的值.
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【題目】為了節(jié)省材料,某農(nóng)場主利用圍墻(圍墻足夠長)為一邊,用總長為80m的籬笆圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等,則能圍成的矩形區(qū)域ABCD的面積最大值是___m2.
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【題目】北京第一條地鐵線路于1971年1月15日正式開通運營.截至2017年1月,北京地鐵共有19條運營線路,覆蓋北京市11個轄區(qū).據(jù)統(tǒng)計,2017 年地鐵每小時客運量是2002年地鐵每小時客運量的4倍,2017年客運240萬人所用的時間比2002年客運240萬人所用的時間少30小時,求2017年地鐵每小時的客運量?
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【題目】為了方便游客觀賞景點,某景區(qū)設(shè)計建造了如圖所示的高為6米的觀景臺,且坡面的坡度比為1:1.后來為了方便行人推車(如子女帶老人旅游等),決定降低坡度,新坡面的坡度比為.
(1)求新坡面的坡角.
(2)原坡面底部的正前方13米(的長)有一座古建筑,為保護文物,當?shù)匚奈锕芾聿块T規(guī)定,坡面底部至少距古建筑7米,請問新的設(shè)計方案能否通過,試說明理由.(參考數(shù)據(jù):,)
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