【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,D是 上一點(diǎn),OD⊥BC,垂足為H.
(1)如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí),求證:AC=2OH;
(2)如圖2,當(dāng)圓心O在△ABC外部時(shí),連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接BD,E為⊙O上一點(diǎn),連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N,連接OE,BF為⊙O的弦,BF⊥OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的長(zhǎng).
【答案】
(1)解:∵OD⊥BC,
∴由垂徑定理可知:點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),
∴OH是△ABC的中位線,
∴AC=2OH;
(2)解:∵OD⊥BC,
∴由垂徑定理可知: ,
∴∠BAD=∠CAD,
∵ ,
∴∠ABC=∠ADC,
∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC,
∴∠ACD=∠APB,
(3)解:連接AO延長(zhǎng)交于⊙O于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,
∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,
∵∠ABD+∠BDN=∠AND,
∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,
∵∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND,
∴∠AND=180°﹣∠AND,
∴∠AND=90°,
∵tan∠ABC= ,BN=3 ,
∴NQ= ,
∴由勾股定理可求得:BQ= ,
∵∠BNQ=∠QHD=90°,
∴∠ABC=∠QDH,
∵OE=OD,
∴∠OED=∠QDH,
∵∠ERG=90°,
∴∠OED=∠GBN,
∴∠GBN=∠ABC,
∵AB⊥ED,
∴BG=BQ= ,GN=NQ= ,
∵AI是⊙O直徑,
∴∠ACI=90°,
∵tan∠AIC=tan∠ABC= ,
∴ = ,
∴IC=10 ,
∴由勾股定理可求得:AI=25,
連接OB,
設(shè)QH=x,
∵tan∠ABC=tan∠ODE ,
∴ ,
∴HD=2x,
∴OH=OD﹣HD= ﹣2x,
BH=BQ+QH= +x,
由勾股定理可得:OB2=BH2+OH2,
∴( )2=( +x)2+( ﹣2x)2,
解得:x= 或x= ,
當(dāng)QH= 時(shí),
∴QD= QH= ,
∴ND=QD+NQ=6 ,
∴MN=3 ,MD=15
∵M(jìn)D ,
∴QH= 不符合題意,舍去,
當(dāng)QH= 時(shí),
∴QD= QH=
∴ND=NQ+QD=4 ,
由垂徑定理可求得:ED=10 ,
∴GD=GN+ND=
∴EG=ED﹣GD= ,
∵tan∠OED= ,
∴ ,
∴EG= RG,
∴RG= ,
∴BR=RG+BG=12
∴由垂徑定理可知:BF=2BR=24.
【解析】本題考查圓的綜合問(wèn)題,涉及圓周角定理,中位線的性質(zhì),銳角三角函數(shù),勾股定理等知識(shí),綜合性較強(qiáng),解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).(1)OD⊥BC可知點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),又中位線的性質(zhì)可得AC=2OH;(2)由垂徑定理可知: ,所以∠BAD=∠CAD,由因?yàn)椤螦BC=∠ADC,所以∠ACD=∠APB;(3)由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°,由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的長(zhǎng)度,再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)I,連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度,設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長(zhǎng)度,利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)度,最后利用tan∠OED= 即可求得RG的長(zhǎng)度,最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn),且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根
(1)求線段BC的長(zhǎng)度;
(2)試問(wèn):直線AC與直線AB是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)D在直線AC上,且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點(diǎn)P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)(2,﹣4)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,則下列各點(diǎn)在此函數(shù)圖象上的是( 。
A.(2,4)
B.(﹣1,﹣8)
C.(﹣2,﹣4)
D.(4,﹣2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克,乙種原料290千克,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克,可獲利潤(rùn)700元;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4千克、乙種原料10千克,可獲利潤(rùn)1200元。設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)為x, A、B兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為y (元)
(1)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求出自變量x的取值范圍;
(3)利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如3+=(1+)2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí),若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得:a= ,b= ;
(2)利用探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a、b、m、n (a、b都不超過(guò)20)
填空: + =( + )2;
(3)若a+6=(m+n)2,且a、m、n均為正整數(shù),求a的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三角形AOB是由三角形A1O1B1平移后得到的,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,2),若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,-1).
求:(1)O1,B1的坐標(biāo).
(2)三角形AOB的面積.
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