Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；若兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APQ的面積為S（cm2）

（1）t=2時(shí)，則點(diǎn)P到AC的距離是 cm，S= cm2；

（2）t為何值時(shí)，PQ⊥AB；

（3）t為何值時(shí)，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；

（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）t=時(shí)，PQ⊥AB；（3）當(dāng)t= 時(shí)，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；（4）t=3時(shí)，S最大=．

【解析】

試題分析：（1）作PH⊥AC于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算求出點(diǎn)P到AC的距離，根據(jù)三角形的面積公式求出△APQ的面積；

（2）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△APQ∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一和相似三角形的性質(zhì)解答即可；

（4）根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，運(yùn)用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解：經(jīng)過(guò)t（s），AP=2t，CQ=t，AQ=6﹣t，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm

由勾股定理可求出AB=10cm，

（1）如圖1，作PH⊥AC于H，

當(dāng)t=2時(shí)，AP=4cm，AQ=6﹣2=4cm，

∵∠C=90°，PH⊥AC，

∴PH∥BC，

∴=，即=，

解得PH=cm，

S=×AQ×PH=cm2．

故答案為；；

（2）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，又∠C=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得t=．

答：t=時(shí)，PQ⊥AB；

（3）如圖1，當(dāng)△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形時(shí)，

AH=AQ，

∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得AH=t，

∴t=（6﹣t），

解得，t=，

∴當(dāng)t= 時(shí)，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；

（4）∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得，PH=t，

∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣（t﹣3）2+，

∴t=3時(shí)，S最大=．