【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知RtAOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上(OAOB),且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)根.線段AB的垂直平分線CDAB于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

1)求AB兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2)求直線CD的解析式;

3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)CP、QM為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為AB長?若存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1A6,0),B0,8);

2y=x+;

3)存在,M14,11),M2﹣45),M32,﹣3),M410,3

【解析】【試題分析】(1)利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0,求出x的值,即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2)先在RtAOB中利用勾股定理求出AB==10,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AB=5.再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明ACD∽△AOB,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出,求出AD=,得到D點(diǎn)坐標(biāo)(﹣,0),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出C3,4),然后利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式;

3)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),先求出BM的解析式為y=x+8,設(shè)Mx x+8),再根據(jù)BM=5列出方程(x+882+x2=52,解方程即可求出M的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí),先求出AM的解析式為y=x,設(shè)Mx, x),再根據(jù)AM=5列出方程(x2+x62=52,解方程即可求出M的坐標(biāo).

【試題解析】

1)解方程x2﹣14x+48=0

x1=6,x2=8,

OAOB

A6,0),B0,8);

2)在RtAOB中,∵∠AOB=90°OA=6,OB=8

AB==10,

∵線段AB的垂直平分線CDAB于點(diǎn)C

AC=AB=5

ACDAOB中,

,

∴△ACD∽△AOB,

,即,

解得AD=

A6,0),點(diǎn)Dx軸上,

D,0).

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b

由題意知CAB中點(diǎn),

C3,4),

D,0),

,解得

∴直線CD的解析式為y=x+;

3)在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)CP、QM為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為AB長.

AC=BC=AB=5,

∴以點(diǎn)C、PQ、M為頂點(diǎn)的正方形的邊長為5,且點(diǎn)Q與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合.分兩種情況:

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),易求BM的解析式為y=x+8,設(shè)Mx, x+8),

B08),BM=5

x+882+x2=52,

化簡整理,得x2=16

解得x=±4,

M1411),M2﹣45);

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí),易求AM的解析式為y=x,設(shè)Mx, x),

A60),AM=5,

x2+x62=52,

化簡整理,得x2﹣12x+20=0,

解得x1=2,x2=10,

M32﹣3),M4103);

綜上所述,所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M14,11),M2﹣4,5),M32,﹣3),M4103).

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