【題目】已知:如圖,邊長為2的正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O,AB、DC的延長線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG∥CB交BA的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證: ;
(2)證明:EG與⊙O相切,并求AG、BF的長.

【答案】
(1)

證明:(1)易證五邊形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC,
∵EG∥CB,
∴∠EAG=∠FBC.
∴△EAG∽△FBC.
,即BCAE=AGBF.
又∵BC=AE=AB,


(2)

連接EF,由(1)可知FB=FC,即△FBC為等腰三角形,易知BA=CD,


∴FA=FD,
∴EF⊥BC且EF平分BC,
∴EF過圓心O.
又∵EG∥CB,∴EF⊥EG,
∴EG與⊙O相切.

由(1)可知∠G=∠EAG,∴EG=EA=2,
設(shè)AG=x,則 ,解得

∴AG= ,代入①中可得:BF=


【解析】欲證 ,可證△EAG∽△FBC及正五邊形ABCDE的特點(diǎn)得出;求AG、BF的長,需連接EF,易證明EF⊥BC,得出EF⊥EG,依據(jù)EG與⊙O相切,用切線的性質(zhì)得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正多邊形和圓的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角;圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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2)歸納與發(fā)現(xiàn)

觀察以上三組對稱點(diǎn)的坐標(biāo),你會發(fā)現(xiàn):

平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)Pa,b)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為_____;

3)運(yùn)用與拓展

已知兩點(diǎn)M﹣3,3)、N﹣4,﹣1),試在直線l上作出點(diǎn)Q,使點(diǎn)QMN兩點(diǎn)的距離之和最小,并求出相應(yīng)的最小值.

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