Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱(chēng)點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；

（2 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫(xiě)出邊CD上A， B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)

（3 如圖2，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝4，DP=4，DM＝8，AN＝5．過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l平行于BC，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線(xiàn)l上．求PH的長(zhǎng)．

【解析】（1）以線(xiàn)段AB為直徑的圓與線(xiàn)段CD的交點(diǎn)，或線(xiàn)段CD的中點(diǎn)；

（2）利用（1）中圖形得出C，D，E，F(xiàn)即可得出答案；

（3）求出MN的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)得出符合要求的點(diǎn)

 

Answer 1

（1）尺規(guī)作圖正確（以線(xiàn)段AB為直徑的圓與線(xiàn)段CD的交點(diǎn)，或線(xiàn)段CD的中點(diǎn)）（2）4個(gè)．

（3）如圖，

∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．

過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l平行于BC，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線(xiàn)l上，

∴ME=4，NE=3，

∴MN=5，

PM=4，PH=2時(shí)，HM=構(gòu)成勾股數(shù)，

同理可得：

PH″=或PH=2或PH′=3．