Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．求PH的長．

Answer 1

分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)；
（2）利用（1）中圖形得出C，D，E，F(xiàn)即可得出答案；
（3）求出MN的長度，根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)得出符合要求的點(diǎn)．

解答：解：（1）尺規(guī)作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)4個(gè)；

（3）如圖，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2時(shí)，HM=2

5

構(gòu)成勾股數(shù)，
同理可得：
PH″=

13

4

或PH=2或PH′=3．

點(diǎn)評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及矩形的性質(zhì)和作圖與應(yīng)用作圖等知識(shí)，熟練地應(yīng)用勾股定理找出勾股點(diǎn)是此題的難點(diǎn)．