【題目】平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+2過點A(﹣3,0)、B (1,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,點G在拋物線上且其縱坐標為2.
(1)a= , b= , D( , ).
(2)P是線段AB上一動點(點P不與A、B重合),點P作x軸的垂線交拋物線于點E.
①若PE=PB,試求E點坐標;
②在①的條件下,PE、DG交于點M,在線段PE上是否存一點N,使得△DMN與△DCO相似?若存在,試求出相應(yīng)點的坐標;
③在①的條件下,點F是坐標軸上一點,且點F到EC、ED的距離相等,試直接寫出EF的長度.

【答案】
(1)﹣ ;﹣ ;﹣1;
(2)

①設(shè)P(x,0),則E(x,﹣ x2 x+2),則PB=1﹣x,PE=﹣ x2 x+2.

∵PE=PB,

∴﹣ x2 x+2=1﹣x.

∴x1=1(舍去),x2=﹣

當x=﹣ ,函數(shù)值y=

∴E(﹣ , ).

②存在點N(﹣ ),理由如下:過點G作GH⊥x軸,垂足為H,連結(jié)DH.

把y=2代入拋物線的解析式得:2=﹣ x2 x+2,解得x=0或x=﹣2.

∴G(﹣2,2).

拋物線的對稱軸為x=﹣1,

∵GH⊥x軸,

∴H(﹣2,0).

∴△DOC與△DHG關(guān)于直線x=﹣1對稱.

∴要使DMN與△DCO相似,只需△DMN與△DGH相似.

∵MN∥GH,

∴△DMN∽△DGH.

設(shè)直線DH的解析式為y=kx+b,將點H和點D的坐標代入得: ,

解得:k= ,b=

∴直線DH的解析式為y= x+

將x=﹣ 代入得:y=

∴N(﹣ , ).

③如圖2所示:過點E作EF⊥y軸,交拋物線的對稱軸與點G,則G(﹣1, )過點E作EF′⊥x垂足為F′.

設(shè)直線EC的解析式為y=mx+n將點E和點C的坐標代入得:

解得:m=﹣ ,n=2.

∴直線EC的解析式為y= x+2.

當x=﹣1時,y=

∴DG=GM.

∴點M與點D關(guān)于EF對稱.

∴EF是∠DEC的角平分線.

∴點F到點F到EC、ED的距離相等.

∴EF=

∵EF′⊥x垂足為F′.

∴∠FEF′=90°,

∴∠DEF+∠HEF′=90°,∠FEC+∠CEF′=90°.

又∵∠DEF=∠FEC,

∴∠HEF′=∠CEF′.

∴EF′是∠HEC的平分線,

∴點F′到DE和EC的距離相等.

∴EF′=

綜上所述,EF的長為


【解析】解:(1)把x=0代入拋物線的解析式得:y=2,
∴C(0,2).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),將點C的坐標代入得﹣3a=2,解得:a=﹣
∴拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2 x+2.
∴b=﹣
∴x=﹣ =﹣1.
當x=﹣1時,y=
∴D(﹣1, ).
所以答案是:﹣ ;﹣ ;﹣1,

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