【題目】(問題情境)

課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:如圖1,ABC中,若AB12AC8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長ADE,使DEAD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考:

1)由已知和作圖能得到ADC≌△EDB,依據(jù)是   

ASSS BSAS CAAS DHL

2)由三角形的三邊關(guān)系可求得AD的取值范圍是   

解后反思:題目中出現(xiàn)中點”“中線等條件,可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

(初步運用)

如圖2ADABC的中線,BEACE,交ADF,且AEEF.若EF3,EC2,求線段BF的長.

(靈活運用)

如圖3,在ABC中,∠A90°DBC中點,DEDF,DEAB于點E,DFAC于點F,連接EF,試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】1B;(22AD10;【初步運用】BF5;【靈活運用】BE2+CF2EF2,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答;

2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算;

初步運用 延長ADM,使ADDM,連接BM,證明ADC≌△MDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

靈活運用 延長ED到點G,使DGED,連結(jié)GF,GC,證明DBE≌△DCG,得到BECG,根據(jù)勾股定理解答.

解:(1)在ADCEDB中,

∴△ADC≌△EDBSAS),

故選:B;

2)∵ADC≌△EDB,

EB=AC=8,

ABE中,

ABBEAEAB+BE,

2AD10,

故答案為:2AD10;

【初步運用】

延長ADM,使ADDM,連接BM,

AEEFEF3

AC5,

ADABC中線,

CDBD,

∵在ADCMDB中,

,

∴△ADC≌△MDB,

BMAC,∠CAD=∠M,

AEEF,

∴∠CAD=∠AFE

∵∠AFE=∠BFD,

∴∠BFD=∠CAD=∠M

BFBMAC,

BF5

【靈活運用】

線段BE、CFEF之間的等量關(guān)系為:BE2+CF2EF2

證明:如圖3,延長ED到點G,使DGED,連結(jié)GF,GC,

EDDF

EFGF,

DBC的中點,

BDCD,

在△BDE和△CDG中,

,

∴△BDE≌△CDGSAS),

BECG,

∵∠A90°,

∴∠B+ACB90°,

∵△BDE≌△CDG,EFGF

BECG,∠B=∠GCD

∴∠GCD+ACB90°,即∠GCF90°,

RtCFG中,CF2+GC2GF2

BE2+CF2EF2

練習冊系列答案
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