【題目】如圖,半圓O的直徑AB=4,以長為2的弦PQ為直徑,向點O方向作半圓M,其中P點在 上且不與A點重合,但Q點可與B點重合.
發(fā)現(xiàn): 的長與 的長之和為定值l,求l:
【答案】解:如圖1,連接OP、OQ,
∵AB=4,
∴OP=OQ=2,
∵PQ=2,
∴△OPQ是等邊三角形,
∴∠POQ=60°,
∴ = = ,
又∵半圓O的長為: π×4=2π,
∴ + =2π﹣ π= ,
∴l(xiāng)= π;
思考:點M與AB的最大距離為 , 此時點P,A間的距離為 ;
點M與AB的最小距離為 , 此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為 ;
|2|| ﹣
探究:當半圓M與AB相切時,求 的長.
(注:結果保留π,cos35°= ,cos55°= )
解:當半圓M與AB相切時,
此時,MC=1,
如圖4,當點C在線段OA上時,
在Rt△OCM中,
由勾股定理可求得:OC= ,
∴cos∠AOM= = ,
∴∠AOM=35°,
∵∠POM=30°,
∴∠AOP=∠AOM﹣∠POM=5°,
∴ = = ,
當點C在線段OB上時,
此時,∠BOM=35°,
∵∠POM=30°,
∴∠AOP=180°﹣∠POM﹣∠BOM=115°
∴ = = ,
綜上所述,當半圓M與AB相切時, 的長為 或 .
【解析】解:發(fā)現(xiàn): 思考:如圖2,過點M作MC⊥AB于點C,
連接OM,
∵OP=2,PM=1,
∴由勾股定理可知:OM= ,
當C與O重合時,
M與AB的距離最大,最大值為 ,
連接AP,
此時,OM⊥AB,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OP,
∴△AOP是等邊三角形,
∴AP=2,
如圖3,當Q與B重合時,
連接DM,
∵∠MOQ=30°,
∴MC= OM= ,
此時,M與AB的距離最小,最小值為 ,
設此時半圓M與AB交于點D,
DM=MB=1,
∵∠ABP=60°,
∴△DMB是等邊三角形,
∴∠DMB=60°,
∴扇形DMB的面積為: = ,
△DMB的面積為: MCDB= × ×1= ,
∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為: ﹣ ;
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車,隨著汽車的普及,其價格也在不斷下降.今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元,如果賣出相同數(shù)量的A款汽車,去年銷售額為100萬元,今年銷售額只有90萬元.
(1)今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元?
(2)為了增加收入,汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車,已知A款汽車每輛進價為7.5萬元,B款汽車每輛進價為6萬元,公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛,有幾種進貨方案?
(3)如果B款汽車每輛售價為8萬元,為打開B款汽車的銷路,公司決定每售出一輛B款汽車,返還顧客現(xiàn)金a萬元,要使(2)中所有的方案獲利相同,a值應是多少?此時,哪種方案對公司更有利?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是一張長方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點,AE=5,現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片(△AEP),使點P落在長方形ABCD的某一條邊上,則等腰三角形AEP的底邊長是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明在學習了《展開與折疊》這一課后,明白了很多幾何體都能展開成平面圖形.于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒,可是一不小心多剪了一條棱,把紙盒剪成了兩部分,即圖中的①和②.根據(jù)你所學的知識,回答下列問題:
(1)小明總共剪開了_______條棱.
(2)現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去,而且經(jīng)過折疊以后,仍然可以還原成一個長方體紙盒,你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置?請你幫助小明在①上補全.
(3)小明說:他所剪的所有棱中,最長的一條棱是最短的一條棱的5倍.現(xiàn)在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形,并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm,求這個長方體紙盒的體積.
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【題目】設拋物線的解析式為y=ax2 , 過點B1(1,0)作x軸的垂線,交拋物線于點A1(1,2);過點B2( ,0)作x軸的垂線,交拋物線于點A2;…;過點Bn(( )n﹣1 , 0)(n為正整數(shù))作x軸的垂線,交拋物線于點An , 連接AnBn+1 , 得Rt△AnBnBn+1 .
(1)求a的值;
(2)直接寫出線段AnBn , BnBn+1的長(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列問題:
①當n為何值時,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?
②設1≤k<m≤n(k,m均為正整數(shù)),問:是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于F點,若CF=2,F(xiàn)D=4,則BC的長為( )
A.6
B.2
C.4
D.4
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【題目】已知凸四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如圖1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的鄰補角,判斷DE與BF位置關系并證明.
(2)如圖2,若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角,判斷DE與BF位置關系并證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,火車站、碼頭分別位于A,B兩點,直線a和b分別表示鐵路與河流.
(1)從火車站到碼頭怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(3)從火車站到河流怎樣走最近,畫圖并說明理由.
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