【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點B出發(fā),沿對角線BD向點D勻速運動,速度為4cm/s,過點P作PQ⊥BD交BC于點Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點N落在射線PD上,點O從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,速度為3m/s,以O為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點P與點O同時出發(fā),設它們的運動時間為t(單位:s)(0<t<).

(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時,t的值為 ;

(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;

(3)請你繼續(xù)進行探究,并解答下列問題:

①證明:在運動過程中,點O始終在QM所在直線的左側;

②如圖3,在運動過程中,當QM與⊙O相切時,求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.

【答案】(1);(2);(3)證明見解析,t=,PM與O不相切.

【解析】

試題分析:(1)先證PBQ∽△CBD,求出PQ、BQ,進而可求出t值;(2)先證QTM∽△BCD,利用線段成比例可求出t值;(3)QM交CD于E,利用DE、DO差值比較可判斷點O始終在QM所在直線的左側;可知O只有在左側與直線QM相切于點H,QM與CD交于點E.由OHE∽△BCD,利用線段成比例可求t值,再利用反證法證明直線PM不可能與O相切.

試題解析:解:(1)如圖1中,在矩形ABCD中,A=C=ADC=ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,,PQBD,∴∠BPQ=90°∵∠PBQ=DBC,BPQ=C,∴△PBQ∽△CBD,==,==,PQ=3t,BQ=5t,DQ平分BDC,QPDB,QCDC,QP=QC,3t=65t,

t=.(2)解:如圖2中,作MTBC于T.MC=MQ,MTCQ,TC=TQ, TQ=(85t),QM=3t,

MQBD,∴∠MQT=DBC,∵∠MTQ=BCD=90°,∴△QTM∽△BCD,=,

t=(s),t=s時,CMQ是以CQ為底的等腰三角形.(3)證明:如圖2中,由此QM交CD于E,

EQBD,=,EC=(85t),ED=DCEC=6(85t)=t,DO=3t,DEDO=t3t=t>0,點O在直線QM左側.解:如圖3中,由可知O只有在左側與直線QM相切于點H,QM與CD交于點E.EC=(85t),DO=3t,OE=63t(85t)=t,OHMQ,∴∠OHE=90°,∵∠HEO=CEQ,

∴∠HOE=CQE=CBD,∵∠OHE=C=90°∴△OHE∽△BCD,=,,t=

t=s時,O與直線QM相切.連接PM,假設PM與O相切,則OMH= PMQ=22.5°,在MH上取一點F,使得MF=FO,則FMO=FOM=22.5°,∴∠OFH=FOH=45°OH=FH=0.8,F(xiàn)O=FM=0.8 MH=0.8(+1),

=得到HE=,由=得到EQ=MH=MQHEEQ=4- - =,

0.8(+1),矛盾,假設不成立.直線MQ與O不相切.

練習冊系列答案
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(1)如圖,當α=60°時,延長BE交AD于點F.

①求證:△ABD是等邊三角形;

②求證:BF⊥AD,AF=DF;

③請直接寫出BE的長;

(2)在旋轉過程中,過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點時,請直接寫出BE+CE的值.

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