Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義點(diǎn)P（a，b）的“變換點(diǎn)”為Q．且規(guī)定：當(dāng)a≥b時(shí)，Q為（b，﹣a）；當(dāng)a＜b時(shí)，Q為（a，﹣b）．
（1）點(diǎn)（2，1）的變換點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）若點(diǎn)A（a，﹣2）的變換點(diǎn)在函數(shù)y= 的圖象上，求a的值；
（3）已知直線l與坐標(biāo)軸交于（6，0），（0，3）兩點(diǎn)．將直線l上所有點(diǎn)的變換點(diǎn)組成一個(gè)新的圖形記作M． 判斷拋物線y=x2+c與圖形M的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及相應(yīng)的c的取值范圍，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）（1，﹣2）
（2）

解：當(dāng)a≥﹣2時(shí)，則A（a，﹣2）的變換點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣a），

代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；

當(dāng)a＜﹣2時(shí)，則A（a，﹣2）的變換點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2），

代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合題意；

綜上可知a的值為 ；

（3）

解：設(shè)直線l的解析式為y=kx+b （k≠0 ），將點(diǎn)（6，0）、（0，3）代入y=kx+b得： ，解得 ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x+3．

當(dāng)x=y時(shí)，x=﹣ x+3，解得x=2．

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，﹣2），點(diǎn)C的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為C′（ 2，﹣2 ），

點(diǎn)（6，0）的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣6），點(diǎn)（0，3）的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣3），

當(dāng)x≥2時(shí)，所有變換點(diǎn)組成的圖形是以C′（ 2，﹣2）為端點(diǎn)，過(guò)（0，﹣6 ）的一條射線；即：y=2x﹣6，其中x≥2，

當(dāng)x＜2時(shí)，所有變換點(diǎn)組成的圖形是以C′（2，﹣2）為端點(diǎn)，過(guò)（0，﹣3）的一條射線，即y= x﹣3，其中，x＜2．

所以新的圖形M是以C′（2，﹣2）為端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．

如圖所示：

由 和 得：x2﹣ x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②

討論一元二次方程根的判別式及拋物線與點(diǎn)C′的位置關(guān)系可得：

①當(dāng)方程①無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，即：當(dāng)c＞﹣ 時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M沒(méi)有交點(diǎn)；

②當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，即：當(dāng)c=﹣ 時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)方程②無(wú)實(shí)數(shù)根，且方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，即：當(dāng)﹣5＜c＜﹣ 時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M有兩個(gè)交點(diǎn)；

④當(dāng)方程②有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根或y=x2+c恰好經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′時(shí)，即：當(dāng)c=﹣5或c=﹣6時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M有三個(gè)交點(diǎn)；

⑤當(dāng)方程②方程①均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，且兩根均小于2，即：當(dāng)﹣6＜c＜﹣5時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M有四個(gè)交點(diǎn)；

⑥當(dāng)c＜﹣6時(shí)，拋物線y=x2+c與圖形M有兩個(gè)交點(diǎn)．

【解析】解：（1）∵2≥﹣1，
∴點(diǎn)（2，1）的變換點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），
所以答案是：（1，﹣2）；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．