【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3,動點(diǎn)F在邊BC上,且不與點(diǎn)B、C重合,將△EBF沿EF折疊,得到△EB′F.

(1)當(dāng)∠BEF=45°時,求證:CF=AE;
(2)當(dāng)B′D=B′C時,求BF的長;
(3)求△CB′F周長的最小值.

【答案】
(1)

證明:如圖1中,

當(dāng)∠BEF=45°時,易知四邊形BEB′F是正方形,

∴BF=BE,

∵AB=BC,

∴CF=AE=3.


(2)

解:如圖2中,作B′N⊥BC于N,NB′的延長線交AD于M,作EG⊥MN于G,則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形.

∵B′D=B′C,

∴∠B′DC=∠B′CD,

∵∠ADC=∠BCD=90°,

∴∠B′DM=∠B′CN,

∵∠B′MD=∠B′NC=90°,

∴△B′MD≌△B′CN,

∴B′M=B′N=8,

∵AE=MG=3,

∴GB′=5,

在Rt△EGB′中,EG= = =12,

∵∠EB′G+∠FB′N=90°,∠FB′N+∠B′FN=90°,

∴∠EB′G=∠B′FN,∵∠EGB′=∠FNB′=90°,

∴△EGB′∽△B′NF,

= ,

=

∴BF=B′F=


(3)

解:如圖3中,

以E為圓心EB為半徑畫圓,在Rt△EBC中,∠EBC=90°,EB=13,BC=16,

∴EC= =5 ,

∵△CFB′的周長=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′,

∴欲求△CFB′的周長的最小值,只要求出CB′的最小值即可,

∵CB′+EB′≥EC,

∴E、B′、C共線時,CB′的值最小,CB′最小值為5 ﹣13.

∴△CFB′的周長的最小值為3+5


【解析】(1)如圖1中,當(dāng)∠BEF=45°時,易知四邊形BEB′F是正方形,推出BF=BE,由AB=BC,即可證明CF=AE=3.(2)如圖2中,作B′N⊥BC于N,NB′的延長線交AD于M,作EG⊥MN于G,則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形.由△B′MD≌△B′CN,推出B′M=B′N=8,由AE=MG=3,推出GB′=5,在Rt△EGB′中,EG= = =12,由△EGB′∽△B′NF,推出 = ,由此即可解決問題.(3)如圖3中,以E為圓心EB為半徑畫圓,在Rt△EBC中,∠EBC=90°,EB=13,BC=16,推出EC= =5 ,由△CFB′的周長=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′,所以欲求△CFB′的周長的最小值,只要求出CB′的最小值即可,因為CB′+EB′≥EC,所以E、B′、C共線時,CB′的值最。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對正方形的性質(zhì)的理解,了解正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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(3)已知直線l與坐標(biāo)軸交于(6,0),(0,3)兩點(diǎn).將直線l上所有點(diǎn)的變換點(diǎn)組成一個新的圖形記作M. 判斷拋物線y=x2+c與圖形M的交點(diǎn)個數(shù),以及相應(yīng)的c的取值范圍,請直接寫出結(jié)論.

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年齡(單位:歲)

13

14

15

16

頻數(shù)(單位:名)

5

15

x

10﹣x

對于不同的x,下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是( )
A.平均數(shù)、中位數(shù)
B.平均數(shù)、方差
C.眾數(shù)、中位數(shù)
D.眾數(shù)、方差

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