Question

（2012•房山區(qū)一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設(shè)y=x₂-x₁，判斷y是否為變量k的函數(shù)？如果是，請寫出函數(shù)解析式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程定義得k≠0，再計算△=（4k+1）²-4k（3k+3），配方得△=（2k-1）²，而k是整數(shù)，則2k-1≠0，得到△=（2k-1）²＞0，根據(jù)△的意義即可得到方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）先根據(jù)求根公式求出一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 的解為x=3或x=1+

1

k

，而k是整數(shù)，x₁＜x₂，則有x₁=1+

1

k

，x₂=3，于是得到y(tǒng)=3-（1+

1

k

）=2-

1

k

．

解答：（1）證明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=（2k-1）²，
∵k是整數(shù)，
∴k≠

1

2

，2k-1≠0，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：y是k的函數(shù)．
解方程得，x=

(4k+1)± (2k-1)2

2k

=

4k+1±(2k-1)

2k

，
∴x=3或x=1+

1

k

，
∵k是整數(shù)，
∴

1

k

≤1，
∴1+

1

k

≤2＜3．
又∵x₁＜x₂，
∴x₁=1+

1

k

，x₂=3，
∴y=3-（1+

1

k

）=2-

1

k

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了利用公式法解一元二次方程．