Question

（2012•房山區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

5

，以點(diǎn)B為圓心，以

2

為半徑作圓．
（1）設(shè)點(diǎn)P為⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接DA，DB，PB，如圖2．求證：AD=BP；
（2）在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=

2

2

或2

；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠PBC=

135

° 時(shí)，BD有最大值，且最大值為

10

+

2

；當(dāng)∠PBC=

45

° 時(shí)，BD有最小值，且最小值為

10

-

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BP；
（2）分P點(diǎn)在BC上面和P點(diǎn)在BC下面兩種情況討論可得BD的長；
（3）當(dāng)∠PBC=135°時(shí)，BD有最大值；當(dāng)∠PBC=45°時(shí)，BD有最小值．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中，
∵

AC=BC ∠ACD=∠BCP CD=CP

，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=2

2

或2；

（3）解：當(dāng)∠PBC=135°時(shí)，BD有最大值，且最大值為

10

+

2

；
當(dāng)∠PBC=45°時(shí)，BD有最小值，且最小值為 

10

-

2

．
故答案為：2

2

或2；135，

10

+

2

；45，

10

-

2

．

點(diǎn)評：考查了圓的綜合題，涉及的知識有全等三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，最大值與最小值，注意分析問題要全面，以免漏解，有一定的難度．