【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過(guò)點(diǎn)B的直線MN∥AC,D為BC邊上一點(diǎn),連接AD,作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E,連接AE.
(1)如圖①,當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求證:AD=DE;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=30°時(shí),線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系?并請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)∠ABC=α?xí)r,請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)
【答案】(1)證明見(jiàn)試題解析;(2)DE=AD;(3)AD=DEtanα.
【解析】
試題分析:(1)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,得出∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠AFD,即可得到△BDE≌△FDA,從而得到AD=DE;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案.
試題解析:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,則∠BDE+∠FDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠FDE+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠C=45°,∵MN∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=135°,∵∠BFD=45°,DF⊥BC,∴∠BFD=45°,BD=DF,∴∠AFD=135°,∴∠EBD=∠AFD,在△BDE和△FDA中,∵∠EBD=∠AFD,BD=DF,∠BDF=∠ADF,∴△BDE≌△FDA(ASA),∴AD=DE;
(2)DE=AD,理由:
如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,則∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,∴∠C=60°,∵MN∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=120°,∵∠ABC=30°,DG⊥BC,∴∠BGD=60°,∴∠AGD=120°,∴∠EBD=∠AGD,∴△BDE∽△GDA,∴,在Rt△BDG中,=tan30°=,∴DE=AD;
(3)AD=DEtanα;理由:
如圖2,∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α,∴∠EBD=∠AGD,∴△EBD∽△AGD,∴,在Rt△BDG中,=tanα,則=tanα,∴AD=DEtanα.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上表示﹣4的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是( )
A. 4 B. ﹣4 C. ±4 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了節(jié)約水資源,某市準(zhǔn)備按照居民家庭年用水量實(shí)行階梯水價(jià).水價(jià)分檔遞增,計(jì)劃使第一檔、第二檔和第三檔的水價(jià)分別覆蓋全市居民家庭的80%,15%和5%,為合理確定各檔之間的界限,隨機(jī)抽查了該市5萬(wàn)戶居民家庭上一年的年用水量(單位:m3),繪制了統(tǒng)計(jì)圖.如圖所示,下面四個(gè)推斷( )
①年用水量不超過(guò)180m3的該市居民家庭按第一檔水價(jià)交費(fèi);
②年用水量超過(guò)240m3的該市居民家庭按第三檔水價(jià)交費(fèi);
③該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在150﹣180之間;
④該市居民家庭年用水量的平均數(shù)不超過(guò)180.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第一次模擬試后,數(shù)學(xué)科陳老師把一班的數(shù)學(xué)成績(jī)制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖,并給了幾個(gè)信息:①前兩組的頻率和是0.14;②第一組的頻率是0.02;③自左到右第二、三、四組的頻數(shù)比為3:9:8,然后布置學(xué)生(也請(qǐng)你一起)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖完成下列問(wèn)題:
(1)全班學(xué)生是多少人?
(2)成績(jī)不少于90分為優(yōu)秀,那么全班成績(jī)的優(yōu)秀率是多少?
(3)若不少于100分可以得到A+等級(jí),則小明得到A+的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2013年四川瀘州2分)下列各式計(jì)算正確的是【 】
A.(a7)2=a9 B.a(chǎn)7a2=a14 C.2a2+3a3=5a5 D.(ab)3=a3b3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小,則該數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),離原點(diǎn)越。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,2,3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形(等邊三角形)、正四邊形(正方形)、正五邊形,BE和CD相交于點(diǎn)O.
(1)在圖1中,求證:△ABE≌△ADC.
(2)由(1)證得△ABE≌△ADC,由此可推得在圖1中∠BOC=120°,請(qǐng)你探索在圖2中,∠BOC的度數(shù),并說(shuō)明理由或?qū)懗鲎C明過(guò)程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基礎(chǔ)上可得在圖3中∠BOC= (填寫度數(shù)).
(4)由此推廣到一般情形(如圖4),分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形,BE和CD仍相交于點(diǎn)O,猜想得∠BOC的度數(shù)為 (用含n的式子表示).
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