Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙M（半徑為r），給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且r≤PQ≤3r，則稱點(diǎn)P為⊙M的稱心點(diǎn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，

①如圖1，在點(diǎn)A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的稱心點(diǎn)是　 　；

②如圖2，點(diǎn)D在直線yx上，若點(diǎn)D是⊙O的稱心點(diǎn)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（2）⊙T的圓心為T（0，t），半徑為2，直線yx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F．若線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①點(diǎn)A，B；②m或m；(2) ﹣2≤t≤1或2≤t．

【解析】

（1）①先求出點(diǎn)A，B，C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'，B'，C'進(jìn)而求出AA'，BB'，CC'，再判斷即可得出結(jié)論；
②先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用新定義建立不等式求解即可得出結(jié)論；
（2）先求出點(diǎn)E，F坐標(biāo)，進(jìn)而求出∠EFO=60°，進(jìn)而找出y軸上到線段EF的距離為2時(shí)的位置，再分情況利用新定義，即可得出結(jié)論．

（1）①∵A（0，1），

∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A'（0，﹣1），

∴AA'＝1﹣（﹣1）＝2，

∵⊙O的半徑為2，

∴點(diǎn)A是⊙O的稱心點(diǎn)，

∵B（2，0），

∴點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B'（﹣2，0），

∴BB'＝2﹣（﹣2）＝4，

∵⊙O的半徑為2，

∴2＜BB'＜6，

∴點(diǎn)B是⊙O的稱心點(diǎn)，

∵C（3，4），

∴點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C'（﹣3，﹣4），

∴CC'25＞3r，

∴點(diǎn)C不是⊙O的稱心點(diǎn)，

故答案為：點(diǎn)A，B；

②∵點(diǎn)D在直線yx上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，

∴D的坐標(biāo)為（m，m），

∴點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（﹣m，m），

∴DD'4|m|，

∵點(diǎn)D是⊙O的稱心點(diǎn)，且⊙O的半徑為2，

∴2≤4|m|≤6，

∴m或m，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m的取值范圍是m或m；

（2）如圖，

對(duì)于直線yx+1，

令x＝0，

∴y＝1，F（0，1），

∴OF＝1，

令y＝0，

∴x+1＝0，

∴x，

∴E（，0），

∴OE，

在Rt△EOF中，tan∠EFO，

∴∠EFO＝60°，

過y軸上一點(diǎn)H作直線EF的垂線交線段EF于G，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，且⊙T的半徑為2，

∴TG最小＝2，

在Rt△FGT中，sin∠EFO，

∴FH，

∴OH＝FH﹣OF1，

當(dāng)點(diǎn)T從H向下移動(dòng)時(shí)，GH，FH越來越長，EH越來越短，到點(diǎn)G和E重合之后，GH越來越長，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，

∴FH＝1﹣t≤3，

∴t≥﹣2，

EH≤3，

∴3，

∴t，

∴﹣2≤t≤1，

當(dāng)點(diǎn)T從點(diǎn)H向上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)T在FH上時(shí)，T到EF的距離小于2，此種情況不符合題意，

當(dāng)點(diǎn)T從點(diǎn)F向上移動(dòng)時(shí)，ET≥EF，

即：ET≥2，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，

∴FH≥1，EH≤3，

∴t﹣1≥1，3，

∴2≤t，

且t的取值范圍是﹣2≤t≤1或2≤t．