Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，B、O在x軸負(fù)半軸上，AO=，tan∠AOB=，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)，反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)OA的中點(diǎn)D．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）平移一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象，當(dāng)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）連接AC，交OB于E，如圖所示：

∵四邊形ABCO是菱形，

∴BE=OE=OB，OB⊥AC，

∴∠AEO=90°，

∴tan∠AOB==，

∴OE=2AE，

設(shè)AE=x，則OE=2x，

根據(jù)勾股定理得：OA=x=，

∴x=1，

∴AE=1，OE=2，

∴OB=2OE=4，

∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），

把點(diǎn)A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函數(shù)y=k₁x+b得：，

解得：k₁=，b=2，

∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+2；

∵D是OA的中點(diǎn)，A（﹣2，1），

∴D（﹣1，），

把點(diǎn)D（﹣1，）代入反比例函數(shù)y=得：k₂=﹣，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=﹣；

（2）根據(jù)題意得：一次函數(shù)的解析式為：y=x+b，

∵一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=﹣的圖象無(wú)交點(diǎn)，

∴方程組 無(wú)解，

即x+b=﹣無(wú)解，

整理得：x²+2bx+1=0，

∴△=（2b）²﹣4×1×1＜0，b²＜1，

解得：﹣1＜b＜1，

∴當(dāng)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是﹣1＜b＜1．