Question

11．如圖，反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點（-1，-2$\sqrt{2}$），點A是該圖象第一象限分支上的動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點C在第四象限，AC與x軸交于點D，當$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$時，則點C的坐標為（2，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 連接OC，分別過點A、C作x、y軸的平行線交于E點，CE交x軸于D點，由反比例函數的性質可知A、B關于原點O對稱，設出A點坐標（m，am），結合△ACB為等腰直角三角形可以用m、a表示出C點坐標，由相似三角形的對應邊之比等于相似比，可得出a的值，再根據點A在反比例函數圖象上，可得出m的值，將a、m代入點C的坐標，即可求得結論．

解答 解：連接OC，分別過點A、C作x、y軸的平行線交于E點，CE交x軸于D點，如圖：

由反比例的性質可知，A、B兩點關于中心O對稱，即OA=OB，
又∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CO⊥AB，且OC=OA．
設直線AB的解析式為y=ax（a＞0），則OC的解析式為y=-$\frac{1}{a}$x，
設點A（m，am），點C（an，-n），
∵OA=OC，即m²+（am）²=（an）²+n²，
解得n=±m(xù)，
∵A在第一象限，C在第三象限，
∴n=m＞0，
即C（am，-m）．
∵AE∥x軸，CE∥y軸，
∴∠CDF=∠CAE，∠CFD=∠CEA=90°，
∴△CDF∽△CAE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$，
又∵$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{2}$，AC=AD+CD，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∵點A（m，am），點C（am，-m），
∴點E（am，am），點F（am，0），
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{0-（-m）}{am-（-m）}$=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
即a=$\sqrt{2}$．
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點（-1，-2$\sqrt{2}$），
∴-2$\sqrt{2}$=$\frac{k}{-1}$，解得k=2$\sqrt{2}$，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，
又∵點A（m，am）在反比例函數的圖象上，且a=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$m=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍去）．
將a=$\sqrt{2}$，m=$\sqrt{2}$代入點C（am，-m）中，可得：點C的坐標為（2，-$\sqrt{2}$）．
故答案為：（2，-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了相似三角形的判定及性質和反比例函數等相關知識，解題的關鍵是利用反比例函數的對稱性，設出A點坐標（m，am），用a、m去表示B、C的坐標，再借助相似三角形的相似比跟點在反比例函數圖象上求出a、m的值．