【題目】如圖,已知拋物線的頂點坐標為,且與y軸交于點C(0,2),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊).
(1)求拋物線的表達式及A,B兩點的坐標.
(2)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最。咳舸嬖,求AP+CP的最小值;若不存在,請說明理由;
(3)在以AB為直徑的⊙M中,CE與⊙M相切于點E,CE交x軸于點D,求直線CE的表達式.
【答案】 (1) y=x2-x+2,A(2,0),B(6,0).(2)存在,AP+CP的最小值為2;(3)直線CE的表達式為y=-x+2.
【解析】試題分析:(1)根據知拋物線的頂點坐標,設拋物線的解析式為y=a(x﹣4)2﹣,再根據拋物線經過(0,2)求出拋物線解析式,進而求出A、B兩點的坐標;(2)存在,線段BC的長即為AP+CP的最小值,求得BC的長即可;(3)連接ME,根據已知條件易證△COD≌△MED.根據全等三角形的性質可得OD=DE,DC=DM.設OD=x,則CD=DM=OM-OD=4-x.在Rt△COD中,根據勾股定理列出方程x2+22=(4-x)2.解方程求得x的值,即可得點D的坐標,利用待定系數法求得直線EC的解析式即可
試題解析:
(1)由題意可設拋物線的表達式為y=a(x-4)2- (a≠0).
∵拋物線經過點C(0,2),
∴a(0-4)2-=2,
解得a=.
∴y= (x-4)2-,
即y=x2-x+2.
當y=0時, x2-x+2=0,
解得x1=2,x2=6,
∴A(2,0),B(6,0).
(2)存在,由(1)知,拋物線的對稱軸l為直線x =4.
∵A,B兩點關于l對稱,
連接CB交l于點P,連接AP,則AP=BP,
∴AP+CP=BC的值最。
∵B(6,0),C(0,2),
∴OB=6,OC=2.
∴BC==2.
∴AP+CP=BC=2.
∴AP+CP的最小值為2.
(3)連接ME,∵CE是⊙M的切線,
∴CE⊥ME.
∴∠CEM=90°.
∴∠COD=∠DEM=90°.
由題意,得OC=ME=2,
∠ODC=∠MDE,
∴△COD≌△MED.
∴OD=DE,DC=DM.
設OD=x,
則CD=DM=OM-OD=4-x.
在Rt△COD中,OD2+OC2=CD2,
∴x2+22=(4-x)2.
∴x=.
∴D.
設直線CE的表達式為y=kx+d(k≠0),
∵直線CE過C(0,2),
D兩點,
則
解得
∴直線CE的表達式為y=-x+2.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點,連接CD,過E作EF∥DC交BC的延長線于F.
(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若四邊形CDEF的周長是16cm,AC的長為8cm,求線段AB的長度.
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【題目】如圖1,點是第二象限內一點,軸于,且是軸正半軸上一點,是x軸負半軸上一點,且.
(1)( ),( )
(2)如圖2,設為線段上一動點,當時,的角平分線與的角平分線的反向延長線交于點,求的度數: (注: 三角形三個內角的和為)
(3)如圖3,當點在線段上運動時,作交于的平分線交于,當點在運動的過程中,的大小是否變化?若不變,求出其值;若變化,請說明理由.
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【題目】有20筐紅蘿卜,以每筐25千克為標準,超過記正不足記負來表示,記錄如下:
(1)20筐紅蘿卜中,最重的一筐比最輕的一筐重多少千克?
(2)與標準質量比較,20筐紅蘿卜總計超過或不足多少千克?
(3)若該種紅蘿卜進價每千克為1.5元,售價每千克為3元.求這20筐紅蘿卜能賺多少錢?
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【題目】已知:如圖,在□ABCD中,點E是BC的中點,連接AE并延長交DC的延長線于點F,連接BF.
(1)求證:△ABE≌△FCE;
(2)若AF=AD,判斷四邊形ABFC的形狀,并說明理由.
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【題目】某中學為了了解七年級男生入學時的跳繩情況,隨機選取50名剛入學的男生進行個人一分鐘跳繩測試,并以測試數據為樣本,繪制出部分頻數分布表和部分頻數分布直方圖(如圖所示).根據圖表解答下列問題:
(1)a= ,b= ;
(2)這個樣本數據的中位數落在第 組;
(3)若七年級男生個人一分鐘跳繩次數x≥130時成績?yōu)閮?yōu)秀,則從這50名男生中任意選一人,跳繩成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為多少;
(4)若該校七年級入學時男生共有150人,請估計此時該校七年級男生個人一分鐘跳繩成績?yōu)閮?yōu)秀的人數.
組別 | 次數x | 頻數(人數) |
第1組 | 50≤x<70 | 4 |
第2組 | 70≤x<90 | a |
第3組 | 90≤x<110 | 18 |
第4組 | 110≤x<130 | b |
第5組 | 130≤x<150 | 4 |
第6組 | 150≤x<170 | 2 |
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【題目】請完成下列的相似測試.
如圖,在△ABC中,AB=AC=4,D是AB上一點,且BD=1,連接CD,然后作∠CDE=∠B,交平行于BC且過點A的直線于點E,DE交AC于點F,連接CE.
(1)求證:△AFD∽△EFC;
(2)試求AEBC的值.
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【題目】如圖,△ABE中,點A、B是反比例函數y=(k≠0)圖象上的兩點,點E在x軸上,延長線段AB交y軸于點C,點B恰為線段AC中點,過點A作AD⊥x軸于點D.若S△ABE=,DE=2OE,則k的值為( 。
A.6B.﹣6C.9D.﹣9
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